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그래디언트의 컬은 항상 0이다

공식

스칼라 함수 $T$의 그래디언트의 컬은 항상 $\mathbf{0}$이다

$$\nabla \times (\nabla T) = \mathbf{0}$$

증명

직교 좌표계에서 $T$의 그래디언트는 다음과 같다.

$$\nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{\mathbf{ x}} +\frac{\partial T}{\partial y}\hat{\mathbf{y}} +\frac{\partial T}{\partial z}\hat{\mathbf{z}}$$

$\nabla T$의 컬을 구하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} \nabla \times (\nabla T) &= \begin{vmatrix} \displaystyle \hat{\mathbf{x}} &\hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \displaystyle \frac{\partial }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial }{\partial z} \\ \displaystyle \frac{\partial T}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial T}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial^2 T}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 T}{\partial z \partial y} \right) \hat {\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial ^2 T}{\partial x \partial z}-\frac{\partial ^2 T}{\partial z \partial x} \right) \hat {\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 T}{\partial y \partial x} \right) \hat {\mathbf{z}} \\ &= \mathbf{0} \end{align*}$$

결과는 $T$와 무관하게 모든 성분이 $0$이므로 기울기의 회전은 항상 $\mathbf{0}$이다.

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