📂기하학

3차원 유클리드 공간에서 곡선이 평면 속에 놓이는 동치조건

정리 ¹

$\kappa \ne 0$ 인 단위 스피드 커브 $\alpha : I \to \mathbb{R}^{3}$ 에 대해 다음 세가지는 동치다.

• (a): $\alpha$ 는 평면에 놓이는 커브다.
• (b): $B$ 는 상수다.
• (c): $\tau = 0$ 이다.

설명

이는 프레네-세레 공식의 따름 정리로써, 토션이 왜 $\tau := \left< B^{\prime}, N \right>$ 과 같이 기괴하게 정의되었는지 알 수 있다.

증명

프레네-세레 공식: $\alpha$ 가 $\kappa (s) \ne 0$ 인 단위 스피드 커브라고 하면 $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$

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Part 1. $(b) \implies (c)$

$B$ 가 상수니 $B^{\prime} = \mathbf{0}$ 이고, 프레네-세레 공식에 따라 $\tau = - \left< B^{\prime} , N \right> = \mathbf{0}$ 이다.

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Part 2. $(c) \implies (b)$

$\tau = \mathbf{0}$ 이면 프레네-세레 공식에 따라 $B^{\prime} = -\tau N = \mathbf{0}$ 이다.

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Part 3. $(a) \implies (b)$

편의를 위해 $\alpha$ 가 $xy$-평면 위에 있어 $\alpha (s) = \left( x(s) , y(s) , 0 \right)$ 와 같이 나타난다고 하면 $$ T = \alpha^{\prime} (s) = \left( x^{\prime} , y^{\prime}, 0 \right) \\ N = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }} = {{ 1 } \over { \kappa }} \left( x^{\prime \prime} , y^{\prime \prime} , 0 \right) $$ 이므로 $$ B = T \times N = {{ 1 } \over { \kappa }} \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ x^{\prime} & y^{\prime} & 0 \\ x^{\prime \prime} & y^{\prime \prime} & 0 \end{bmatrix} = {{ 1 } \over { \kappa }} ( 0, 0, \kappa ) = (0 , 0, \pm 1) $$ 즉 $B$ 는 상수다. 물론 이는 $xy$-평면에서 보인 것이나, 단지 기저를 치환하는 것으로 모든 평면에 일반화할 수 있다. 여기서 $\kappa = \left| x^{\prime} y^{\prime \prime} - x^{\prime \prime} y^{\prime} \right|$ 는 계산을 통해 얻는다².

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Part 4. $(b) \implies (a)$

어떤 $v \in \mathbb{R}^{3}$ 에 대해 다음이 성립함을 보이면 된다. $$ \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , v \right> = 0 $$ $v = B$ 에 대해 $$ \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right>^{\prime} = \left< \alpha^{\prime}(s) , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B^{\prime} \right> \\ = \left< T , B \right> + \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , 0 \right> \\ = 0 + 0 $$ 따라서 $\left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right>$ 는 모든 $s \in I$ 에 대해 값이 변하지 않고, 구체적으로 $s = s_{0}$ 이라 두면 $$ \left< \alpha (s) - \alpha \left( s_{0} \right) , B \right> = 0 $$

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