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프레네-세레 공식 📂기하학

프레네-세레 공식

공식 1

α\alpha 가 κ(s)≠0\kappa (s) \ne 0 인 단위 스피드 커브라고 하면 T′(s)=κ(s)N(s)N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)B′(s)=−τ(s)N(s) \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}

설명

행렬 폼으로 나타내면 다음과 같다. [TNB]′=[0κ0−κ0τ0−τ0][TNB] \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} ^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ - \kappa & 0 & \tau \\ 0 & - \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix}

유도

보조정리: nn차원 내적공간 VV 에서 E={e1,⋯ ,en}E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\} 이 직교 집합이라고 하면 EE 는 VV 의 기저고, 모든 v∈Vv \in V 에 대해 v=∑k=1n<v,ek>ek v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k}

내적의 미분법: <f,g>′=<f′,g>+<f,g′>\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>

프레네-세레 프레임 {T,N,B}\left\{ T, N, B \right\} 는 R3\mathbb{R}^{3} 의 직교 기저다. 위의 보조정리를 이용해 직접 유도한다.

Part 1. T′(s)=κ(s)N(s)T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s)

노멀 벡터의 정의에서 N(s)=T′(s)κ(s)N(s) = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }} 이므로 T′(s)=κ(s)N(s) T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s)

Part 2. N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)

보조정리에 따라 N′(s)=<N′,T>T+<N′,N>N+<N′,B>B N^{\prime}(s) = \left< N^{\prime} , T \right> T + \left< N^{\prime} , N \right> N + \left< N^{\prime} , B \right> B

  • Part 2-1. <N′,T>=−κ\left< N^{\prime} , T \right> = -\kappa
    • <N,T>=0\left< N, T \right> = 0 이므로 Part 1에 따르면 0′=<N,T>′=<N′,T>+<N,T′>  ⟹  <N′,T>=−<N,T′>  ⟹  <N′,T>=−<N,κN>=−κ∣N2∣=−κ⋅1 \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , T \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , T \right> + \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , \kappa N \right> = - \kappa \left| N^{2} \right| = - \kappa \cdot 1 \end{align*}
  • Part 2-2. <N′,N>=0\left< N^{\prime} , N \right> = 0
    • NN 은 단위벡터이므로 ∣N2∣=1\left| N^{2} \right| = 1 이고 양변을 미분하면 0=1′=<N,N>′=2<N,N′>  ⟹  <N,N′>=0 \begin{align*} & 0 = 1^{\prime} = \left< N , N \right>^{\prime} = 2 \left< N , N^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N , N^{\prime} \right> = 0 \end{align*}
  • Part 2-3. <N′,B>=τ\left< N^{\prime} , B \right> = \tau
    • <N,B>=0\left< N, B \right> = 0 이므로 토션의 정의 τ(s):=−<B′(s),N(s)>\tau (s) := - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right> 에 따라 0′=<N,B>′=<N′,B>+<N,B′>  ⟹  <N′,B>=−<N,B′>  ⟹  <N′,T>=τ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , B \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , B \right> + \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , B \right> = - \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = \tau \end{align*}

정리하면 다음을 얻는다. N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s) N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)

Part 3. B′(s)=−τ(s)N(s)B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s)

보조정리에 따라 B′(s)=<B′,T>T+<B′,N>N+<B′,B>B B^{\prime}(s) = \left< B^{\prime} , T \right> T + \left< B^{\prime} , N \right> N + \left< B^{\prime} , B \right> B

  • Part 3-1. <B′,T>=0\left< B^{\prime} , T \right> = 0
    • <T,B>=0=<N,B>\left< T, B \right> = 0 = \left< N, B \right> 이므로 Part 1에 따라 0=<T′,B>+<T,B′>=κ<N,B>+<T,B′>=<T,B′> 0 = \left< T^{\prime}, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \kappa \left< N, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \left< T, B^{\prime} \right>
  • Part 3-2. <B′,N>=−τ\left< B^{\prime} , N \right> = -\tau
    • 토션의 정의와 내적의 대칭성에 따라 <B′,N>=<N,B′>=−τ \left< B^{\prime} , N \right> = \left< N , B^{\prime} \right> = - \tau
  • Part 3-3. <B′,B>=0\left< B^{\prime} , B \right> = 0
    • α\alpha 는 단위 스피드 곡선이라 가정했으므로 B=T×NB = T \times N 역시 단위 벡터다. 그러면 Part 2-2와 마찬가지로 0=<B′,B> 0 = \left< B^{\prime} , B \right>

정리하면 다음을 얻는다. B′(s)=−τ(s)N(s) B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s)

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따름정리

  • 랑크레 정리: κ≠0\kappa \ne 0 인 단위 스피드 커브 α\alpha 가 나선인 것은 어떤 상수 c∈Rc \in \mathbb{R} 에 대해 τ=cκ\tau = c \kappa 인 것과 동치다.
  • 단위 스피드 커브 α\alpha 의 곡률이 상수 κ>0\kappa > 0 고 토션이 τ=0\tau = 0 인 것은 α\alpha 가 반지름이 κ−1\kappa^{-1} 인 원의 호인 것과 동치다.
  • α\alpha 가 직선이라는 것은 α\alpha 의 모든 접선들이 어떤 x0∈R3x_{0} \in \mathbb{R}^{3} 을 지나는 것과 동치다.
  • α\alpha 가 κ≠0\kappa \ne 0 인 단위 스피드 커브라고 하자.

α\alpha 가 평면 위에 놓이는 것은 모든 접평면 이 평행한 것과 동치다.

  • 단위 스피드 커브 α\alpha 의 모든 법평면 이 어떤 고정된 점 x0∈R3\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{3} 을 향하면 α\alpha 는 구면 위에 놓인다.

  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p30. ↩︎