📂기하학

현의 정의

정의 ¹

1. 곡선 $\alpha : (c,d) \to \mathbb{R}^{3}$ 가 주어져 있다고 하자. $c < a < b < d$ 일 때, 모든 $t \in [a,b]$ 에 대해 $\alpha (t) = \gamma (t)$ 를 만족하는 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ 를 현^chord 혹은 곡선분^{curve Segment}라 한다.
2. 현 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ 의 길이 $l_{[a,b]}(\gamma)$ 를 다음과 같이 정의한다. $$l_{[a,b]}(\gamma) := \int_{a}^{b} \left| {{ d \gamma } \over { d t }} \right| dt$$
3. 다음과 같이 정의된 $s = h(t)$ 를 $\alpha$ 에 따른 호의 길이^{length of Arc}라고 한다. $$h(t) := \int_{t_{0}}^{t} \left| {{ d \alpha } \over { dt }} \right| dt$$

설명

정의에서 곡선분 $\gamma$는 $\alpha$의 부분으로써 자연스럽게 정의되며, 그 길이의 정의 역시 자코비안의 개념을 생각해보면 당연하다. 호의 길이라는 것은 우리가 고려하고 싶은 구간 $\left[ t, t_{0} \right]$ 에서 굳이굳이 번거롭게 현을 새로 정의해서 길이를 논하지 않기 위해 생각하는 것이라고 보아도 무방하다.

호의 길이 재매개변수화

특히 함수 $h$ 는 그 자체로 재매개변수화이며, $g: (c,d) \to (a,b)$ 와 $\displaystyle h(t) = \int_{t_{0}}^{t} \left| {{ d \alpha } \over { du }} \right| du$ 에 대해 다음을 만족하면 호의 길이 재매개변수화라고 한다. $$g(s) = h^{-1} (s)$$ 이는 익히 알고 있던 변수치환에 불과하다. 이제 왜 이런 걸 쓰는지 알아보자. $$\begin{align*} \beta =& \alpha \circ g \\ =& \alpha \circ h^{-1} \end{align*}$$ 라고 하면 $\alpha = \beta \circ h$ 이고, $h$ 가 증가함수니 $\left| h^{\prime} \right| = h^{\prime}$ 이므로 $$\begin{align*} s =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \alpha^{\prime} (u) \right| du \\ =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \left( \beta \circ h \right)^{\prime} \right| du \\ =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \left( \beta^{\prime} \circ h \right) \right| h^{\prime}(u) du \\ =& \int_{0}^{s} \left| \beta^{\prime} (v) \right| dv \end{align*}$$ 양변을 $s$ 에 대해 미분하면 미적분학의 기본정리에 따라 $$1 = \left| \beta^{\prime} (s) \right|$$ 즉, 스피드^speed가 $1$ 로 일정해져 다루기가 편하다.

또한 다음의 정리로부터 곡선의 재매개변수화가 곡선의 길이를 변화시키지 않는다는 사실을 알 수 있다. $g$가 $(c,d)$만큼 움직이면 $\alpha$가 $(a,b)$만큼 움직이므로 이는 당연한 사실이다. 비유하자면 출발지에서 목적지까지 가는 경로는 같은데 이동수단만 바꾼 것이므로 이동거리는 바뀌지 않고 속도만 바뀌는 것이다.

정리

재매개변수화에 대해 현의 길이는 불변이다.

증명

현 $\alpha$ 과 재매개변수화 $g : [c,d] \to [a,b]$ 에 대해 $\beta := \alpha \circ g$ 라고 하면 $\beta$ 의 길이는 다음과 같다. $$\begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \beta } \over { d t }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| \left( {{ d \alpha } \over { d t }} \right) \left( {{ d g } \over { d r }} \right) \right| dr \\ =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr \end{align*}$$

---

Case 1. $g$ 가 증가함수

$g(c) = a, g(d) = b$ 이고 $\left| {{ d g } \over { d r }} \right| = {{ d g } \over { d r }}$ 이므로 $$\begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| {{ d g } \over { d r }} dr \\ =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d g \\ =& \int_{a}^{b} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \end{align*}$$

---

Case 2. $g$ 가 감소함수

$g(c) = b, g(d) = a$ 이고 $\left| {{ d g } \over { d r }} \right| = - {{ d g } \over { d r }}$ 이므로 $$\begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left( - {{ d g } \over { d r }} \right) dr \\ =& - \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d g \\ =& - \int_{b}^{a} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \\ =& \int_{a}^{b} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \end{align*}$$

---

따라서 $g$ 가 증가함수든 감소함수든 현의 길이는 일정하다.

■