번스타인 분포: 짝으로 독립이라고 상호 독립은 아니다
정의
$(x,y,z) \in \left\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1) \right\}$ 에 대해 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 분포를 번스타인 분포bernstein distribution라고 한다. $$ p(x,y,z) = {{1} \over {4} } $$
설명
번스타인 분포는 분포의 조건을 모두 만족시키고는 있지만 자연계에 실재하는 분포라고 보기는 어렵다. ‘짝으로 독립이면 상호 독립이다’라는 명제의 반례로 제시된 것으로, 그 외엔 아무런 의미가 없다. 다만 그 반례로써는 상당히 직관적이라 팩트를 숙지하는데 큰 도움이 된다.
반증
확률변수 하나에 대한 마지널 확률 밀도 함수는 아래와 같다. $$ f_{X} (0) = f_{Y} (0) = f_{Z} (0) = {{1} \over {2}} \\ f_{X} (1) = f_{Y} (1) = f_{Z} (1) = {{1} \over {2}} $$ 확률변수 둘에 대한 마지널 확률 밀도 함수는 아래와 같다. $$ f_{X,Y} (0,0) = f_{X,Y} (1,0) = f_{X,Y} (0,1) = f_{X,Y} (0,1) = {{1} \over {4}} \\ f_{Y,Z} (0,0) = f_{Y,Z} (1,0) = f_{Y,Z} (0,1) = f_{Y,Z} (0,1) = {{1} \over {4}} \\ f_{X,Z} (0,0) = f_{X,Z} (1,0) = f_{X,Z} (0,1) = f_{X,Z} (0,1) = {{1} \over {4}} $$ 따라서 $X,Y$ 와 $Y,Z$ 와 $X,Z$ 는 독립이고, $X,Y,Z$ 는 짝으로 독립이다. 하지만 $$ {{1} \over {4}} = f_{X,Y,Z} (1,1,1) \ne f_{X} (1) f_{Y} (1) f_{Z} (1) = {{1} \over {8}} $$ 이므로 $X,Y,Z$ 는 상호 독립이 아니다.
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