📂동역학

에이즈 전염 모델

개요

에이즈^AIDS, 후천면역결핍증후군은 바이러스인 HIV에 의해 발병하며 수십년간 인류를 괴롭혀오고 있는 전염병이다. 에이즈의 전파 경로는 동성애, 이성애, 약물 사용 등으로 다양하며 그에 대한 수학적 모델링은 전체 인구의 구조를 포함하지 않을 수가 없다. 그러나 우선은 가장 단순하게 카스티요^Castillo, 카베즈^Chavez 등에 의해 소개된 ODE 모델을 소개한다.

모델 ¹

$$ \begin{align*} T(t) =& S(t) + I(t) + Y(t) \\ {{d S} \over {d t}} =& - \mu S + \Lambda - \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S \\ {{d I} \over {d t}} =& - \mu I + p \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S - k_{I} I \\ {{d Y} \over {d t}} =& - \mu Y + (1-p) \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S - k_{Y} Y \\ {{d A} \over {d t}} =& - (\mu + \delta) A + k_{I} I \\ {{d Z} \over {d t}} =& - \mu Z + k_{Y} Y \end{align*} $$

변수

• $S(t)$: $t$ 시점에서 에이즈에 걸릴 수 있는 집단의 개체수를 나타낸다.
• $I(t)$: $t$ 시점에서 에이즈를 옮길 수 있는 집단 중, 특히 중증으로 발전하는 개체의 수를 나타낸다.
• $Y(t)$: $t$ 시점에서 에이즈를 옮길 수 있는 집단 중, 특히 경증으로 발전하는 개체의 수를 나타낸다.
• $A(t)$: $t$ 시점에서 중증의 에이즈로 발달한 개체의 수를 나타낸다.
• $Z(t)$: $t$ 시점에서 경증의 에이즈로 발달한 개체의 수를 나타낸다.
• $T(t)$: $t$ 시점에서 실제 에이즈 전파에 관여하는 개체의 수를 나타낸다.

함수

• $C(T)$: 단위시간동안 각각의 개인과 함께하는 성적 파트너 수의 평균이다.

파라미터

• $\Lambda>0$: 이주, 탄생을 포함하는 인구 유입량으로, 특별히 상수일 필요는 없다.
• $\lambda>0$: 에이즈의 전염률이다.
• $p \in [0,1]$: 전염될 때 중증이 되는 비율이다. $(1-p)$ 는 자연스럽게 경증이 되는 비율이 된다.
• $k_{I}, k_{Y}>0$: 감염자가 무증상기를 지나 증상기에 도달하는 비율이다.
• $\mu>0$: 에이즈와 관계 없는 기본 사망률이다.
• $\delta>0$: 에이즈로 인한 사망률이다.

설명 ²

에이즈의 특징 중 하나는 아주 긴 무증상기를 가지며 치료가 어려운 만성질환이라는 것이다. 초기에 잠깐 감기 같은 증상을 겪고 나면 대개 8~10년간은 증상이 없으며, 그 동안에도 체내의 HIV는 계속해서 증식하다가 에이즈로 발달한다. 당연하지만 이쯤 왔으면 증상 이전에 법으로라도 일상 활동에 제약이 걸린다.

수학적 모델에서는 이에 따라 $A,Z$ 이 더 이상 성적인 활동을 하지 않는다는 가정을 한다. 따라서 추상적으로는 평범한 SIR 모델의 $R(t)$ 와 구분되지 않으며, 다만 중증과 경증으로 나뉘어 그 사망률에 차이를 두었을 뿐이다. 수식에서는 $\delta$ 로 오직 $A$ 의 사망률이 높은 것으로 반영되어있다.

개선

파라미터 $k_{I}, k_{Y}$ 는 그 의미상 에이즈가 발전되는 양을 나타내게 되는데, 이 기간이 사람마다 너무 제각각이라 현실성이 떨어지니 수식을 고쳐 모델을 개선해보자. 무증상으로 있는 기간을 체류 기간^{sojourn Time}이라고 부른다고 할 때, 이 체류 시간은 ‘HIV가 에이즈로까지 발전되기 이전까지의 생존 시간’으로 보고 생존 함수를 도입해 반영할 수 있다.

생존 함수: $P(0)=1$ 이면서 증가하지 않는 함수 $P : [0,\infty) \to [0,\infty)$ 를 생존 함수라 정의한다.

만약 $$ \int_{0}^{\infty} P(s) dx = \tau < \infty $$ 이라고 하면, 이 $\tau$ 는 평균 체류 기간을 의미하게 된다. 생존함수는 확률밀도함수 $f(s)$ 가 주어졌을 때 $f(s) = - d P(s) / ds$ 와 같이 정의될 수 있으므로 체류 기간이 따르는 여러가지 분포를 생각해볼 수 있고, 특히 감마 분포나 베이불 분포 등이 널리 쓰인다. 이에 따라 위의 모델에서 $I$, $Y$ 는 어떤 생존함수 $P_{I}, P_{Y}$ 를 도입해 다음과 같이 바뀔 수 있다. $$ \begin{align*} I(t) =& I_{0} + p \int_{0}^{t} \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S e^{-\mu (t-s)} P_{I} (t-s) ds \\ Y(t) =& Y_{0} + (1-p) \int_{0}^{t} \lambda {{ C(T) } \over { T }} (I + Y) S e^{-\mu (t-s)} P_{Y} (t-s) ds \end{align*} $$