복소수의 극좌표 표기법
도입
$0$이 아닌 복소수 $z = x + iy$ $(x, y \in \mathbb{R})$에 대해서, 점 $(x, y)$에 대응되는 극좌표를 $(r, \theta)$라 하자. 그러면 $z$를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ z = x + iy = r \cos\theta + i r \sin \theta $$
이는 오일러 공식에 의해 다시 아래와 같다.
$$ z = r (\cos \theta + i \sin\theta) = r e^{i \theta} $$
이제 복소수의 극좌표를 다음과 같이 정의한다.
정의
$0$이 아닌 복소수 $z = x + iy$ $(x, y \in \mathbb{R})$에 대해서, 점 $(x, y)$에 대응되는 극좌표가 $(r, \theta)$일 때, $z$의 극좌표 꼴poloar form 혹은 지수 꼴exponential form을 다음과 같이 정의한다.
$$ z = r(\cos\theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta} $$
문헌에 따라 $z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ 를 짧게 줄여 $z = r \text{cis} \theta$ 라 쓰기도 한다.
설명
반지름
$r$은 $z$의 반지름radius 혹은 길이length라 하며 $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$가 성립한다.
편각
$\theta$는 $z$의 편각argument이라 부르며, 정의에 따라 $z = 0$에 대해서는 $\theta$가 정의되지 않는다. $\theta$는 주기성이 있으므로, 가능한 값이 무수히 많으며 $z$의 편각들의 집합을 $\arg z$라 표기한다. 이때 편각들 중에서 $- \pi \lt \Theta \le \pi$를 만족하는 유일한 $\Theta$를 $\arg z$의 주된 값principal value 혹은 주편각principal argument이라 하고 $\operatorname{Arg} z$라 표기한다.
$$ \arg z = \left\{ \operatorname{Arg} z + 2n\pi : n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \right\} $$
주편각의 범위에 의해, $z$가 음의 실수이면 $\operatorname{Arg} z = \pi$임에 주의하자.
편각의 원어 표현인 아규먼트argument는 컴퓨터 공학에선 인수 등으로 많이 쓰인다. 원서로 공부하는 입장에서는 편각이라는 순화가 나쁜 건 아니지만 기하적인 의도가 너무 강조되는 느낌이라 가능한 한 피하고, 그냥 영어 그대로 발음하는 편이다.
동치
두 복소수 $z_{1} = r_{1}e^{i \theta_{1}}$와 $z_{2} = r_{2}e^{i \theta_{2}}$가 같다는 것은 아래의 식이 성립하는 것과 같다.
$$ r_{1} = r_{2} \quad\text{and}\quad \theta_{1} = \theta_{2} + 2n \pi \qquad (n \in \mathbb{Z}) $$