📂복소해석

복소수의 극좌표 표기법

정의 ¹

복소수 $z \ne 0$ 는 복소평면 상의 점 $P(x,y)$ 에 대응되며, 선분 $\overline{OP}$ 의 길이 $r := |z|$ 와 $x$ 축과 $\overline{OP}$ 가 만드는 시계반대방향의 각 $\theta$ 을 통해 다음과 같이 극좌표 표기^{polar representation}를 할 수 있다. $$z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$$ 이 때 $\theta$ 를 편각^argument이라 부르며 $\theta = \arg z$ 와 같이 나타낸다. 하나의 복소수에는 무수히 많은 편각 $\theta + 2n \pi$ 이 대응되는데, 컨벤션 상 $\pi < \theta \le \pi$ 를 만족하는 단 하나의 유일한 편각을 주편각^{principal argument}이라 부르고 $\theta = \arg z$ 와 같이 나타낸다.

설명

• 문헌에 따라 $z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ 를 짧게 줄여 $z = r \text{cis} \theta$ 라 쓰기도 한다.
• 편각의 원어 표현인 아규먼트^argument는 컴퓨터 공학에선 인수 등으로 많이 쓰인다. 원서로 공부하는 입장에서는 편각이라는 순화가 나쁜 건 아니지만 기하적인 의도가 너무 강조되는 느낌이라 가능한 한 피하고, 그냥 영어 그대로 발음하는 편이다.