📂행렬대수

유사 역행렬

개요

유사역행렬^{pseudoinvers matrix}은 역행렬의 일반화로써, 행과 열의 크기가 같지 않아서 정방행렬이 아닌 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에 대해 ‘사실상’ 역행렬이 되는 행렬을 말한다. 행렬변환 $T_{A} : \mathcal{N} (A) \to \mathcal{C} (A)$ 이 모든 $\mathbf{x} \in \mathcal{N} (A)^{\perp}$ 에 대해 $$T_{A} \mathbf{x} = A \mathbf{x}$$ 을 만족한다면 $T_{A}$ 는 전단사가 된다. 이는 $T_{A}$ 의 공역을 좁혀서 강제로 전사^surjection가 되게끔 만든 것으로 볼 수 있으며, 역변환 $T_{A}^{-1} : \mathcal{C} (A) \to \mathcal{N} (A)$ 이 존재해 이를 통해 유사역행렬을 정의할 수 있다.

정의¹

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 와 행렬변환 $T_{A} : \mathcal{N} (A) \to \mathcal{C} (A)$ 가 주어져 있다고 하자. 모든 벡터 $\mathbf{y} = \mathbf{y}_{1} + \mathbf{y}_{2} \in \mathbb{R}^{m}$ 에 대해 행렬 $A^{\dagger}$ 가 다음을 만족하면 $A^{\dagger}$ 를 $A$ 의 무어-펜로즈^{moore-Penrose} 유사역행렬이라 부른다. $$A^{\dagger} \mathbf{y} = T_{A}^{-1} \mathbf{y}_{1}$$

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• $\mathbf{y}_{1} \in \mathcal{C}(A)$ 이고 $\mathbf{y}_{2} \in \mathcal{C}(A)^{\perp}$ 이다.
• $\dagger$ 는 단도의 칼날을 아랫방향으로 둔 모양의 기호로써, 실제로 대거^dagger라 읽는다. 수리물리학에서는 켤레전치행렬을 나타내기도 하지만, 맥락을 잘 읽으면 혼동은 없을 것이다.

정리

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 의 유사역행렬은 다음과 같이 계산된다. $$\begin{align*} A^{\dagger} =& \lim_{\delta \to 0} \left( A^{T} A + \delta^{2} I \right)^{-1} A^{T} \\ =& \lim_{\delta \to 0} A^{T} \left( A^{T} A + \delta^{2} I \right)^{-1} \end{align*}$$