파동함수의 상대적 위상의 중요성
설명
파동함수는 흔히 다음과 같이 복소지수함수로 표현된다.
$$ \psi = R e^{\i\theta} $$
이 때 수식에서 물리적으로 의미를 가지는 것은 $\psi$가 아니라 $\left| \psi \right|^{2} = R^{2}$이기 때문에 위상 $\theta$의 값은 중요하지 않고, 바꿔서 다뤄도 상관없다.
다만 파동함수를 다른 두 파동함수의 합으로 나타내는 경우는 얘기가 다르다. 이때는 각 함수의 위상을 마음대로 바꾸면 안된다. 파동함수 $\psi$가 다음과 같이 두 파동함수 $\psi_{1}$과 $\psi_{2}$의 합으로 나타난다고 하자.
$$ \psi_{1} = R_{1}e^{\i\theta_{1}}, \qquad \psi_2=R_{2}e^{\i\theta_2} \\ \psi = \psi_{1} + \psi_2 $$
$$ \begin{align} \left| \psi \right|^{2} = \psi^{\ast}\psi &= (\psi_{1}^{\ast}+\psi_2^{\ast})(\psi_{1}+\psi_2) \nonumber \\ &= | \psi_{1}|^{2} +|\psi_2|^{2}+ \psi_{1}^{\ast}\psi_2+\psi_2^{\ast}\psi_{1} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+R_{1}R_{2}e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2}+{R_{2}}^{2}+R_{1}R_{2} \color{blue}{\left[ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \right]} \nonumber \\ &= {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} +2R_{1}R_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align} $$
$(1)$을 보면 식에 $\theta_{1} - \theta_{2}$가 포함되므로, 각 파동함수의 위상을 바꿀 수 없다는 것을 알 수 있다. 파란부분의 풀이는 아래와 같다. 오일러 공식에 의해 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$이므로
$$ \begin{align*} &\quad\ e^{\i(\theta_2-\theta_{1})}+e^{\i(\theta_{1}-\theta_2)} \\ &= \cos (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2) \\ &= [ \cos (\theta_2-\theta_{1})+\cos (\theta_{1}-\theta_2)]+[\i\sin (\theta_2-\theta_{1})+\i\sin (\theta_{1}-\theta_2)] \\ &= 2\cos(\theta_{1}-\theta_2) \end{align*} $$