다변량 t-분포

정의

로케이션 벡터 $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$ 와 양의 정부호인 스케일 행렬 $\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 다변량 분포 $t_{p} \left(\nu; \mu , \Sigma \right)$ 를 다변량 t-분포^{multivariate t-distribution}라고 한다.

$$ f (\textbf{x}) = {{ \Gamma \left[ (\nu + p) / 2 \right] } \over { \Gamma ( \nu / 2) \sqrt{ \nu^{p} \pi^{p} \det \Sigma } }} \left[ 1 + {{ 1 } \over { \nu }} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right)^{T} \Sigma^{-1} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right) \right] \qquad , \textbf{x} \in \mathbb{R}^{p} $$

설명

$p = 1$ 이어서 $\mu \in \mathbb{R}^{1}$ 이고 $\Sigma \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ 일 때 위 확률 밀도 함수는 정확히 자유도 $\nu$ 일변량 t-분포의 확률 밀도 함수가 된다.
$\nu = 1$ 이면 t-분포가 코시 분포가 됐던 것처럼, 다변량 t-분포 역시 다변량 코시 분포가 된다.