📂양자역학

운동량과 위치의 교환자

공식

위치와 운동량 연산자의 교환자는 다음과 같다.

$$\begin{align} [p, x] &= -\i \hbar \\ [x, p] &= \i \hbar \end{align}$$

위 식을 표준교환관계식^{canonical commutation relation}이라 한다. 위치의 제곱과 운동량의 교환자는 아래와 같다.

$$\begin{align} [x^{2}, p] &= 2 \i \hbar x \\ [p, x^{2}] &= -2 \i \hbar x \end{align}$$

설명

운동량 연산자 $p = \i\hbar \dfrac{d}{dx}$가 미분 연산자이므로, 서로 다른 좌표에 대해서는 모두 교환가능하다.

$$[x,p_{y}]=[x,p_{z}]=[y,p_{x}]=[y,p_{z}]=[z,p_{x}]=[z,p_{y}] = 0$$

이를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$[x_{k}, p_{x_{\ell}}] = \i \hbar \delta_{k\ell} \\[1em] [p_{x_{k}}, x_{\ell}] = - \i \hbar \delta_{k\ell}$$

여기서 $\delta_{k\ell}$은 크로네커 델타이다.

증명

$D_{x}$를 미분 연산자라고 하자.

$$D_{x} := \frac{d}{dx}$$

그리고 도함수 $\dfrac{df}{dx}$를 간단히 다음과 같이 표기하자.

$$f_{x} = \dfrac{df}{dx} = D_{x}f$$

$(1), (2)$

운동량 연산자는 $p=-\i \hbar \dfrac{d}{dx} = -\i \hbar D_{x}$이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} [p, x] \psi &= px\psi - xp\psi \\ &= -\i \hbar D_{x} (x\psi) + \i \hbar x D_{x}\psi \\ &= -\i \hbar\psi - \i \hbar x \psi_{x} + \i \hbar x\psi_{x} \\ &= -\i \hbar \psi \end{align*}$$

따라서

$$[p,x] = -\i\hbar= \dfrac{\hbar}{\i}$$

또한 $[x,p] = -[p, x]$이므로

$$[x,p] = -[p,x] = \i \hbar$$

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$(3), (4)$

$$\begin{align*} [x^{2},p]\psi &= x^{2}p\psi-px^{2}\psi \\ &= x^{2}(-\i\hbar D_{x}\psi) + \i\hbar D_{x}(x^{2}\psi) \\ &= -\i\hbar x^{2}\psi_{x} + \i\hbar2x\psi + \i\hbar x^{2}\psi_{x} \\ &= 2\i\hbar x \psi \end{align*}$$

따라서

$$[x^{2},p] = 2 \i\hbar x$$

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교환자의 성질 (4)에 의해서

$$[ AB, C ] = A [ B, C ] + [ A, C ] B$$

교환자의 성질에 의해 다음과 같이 계산된다.

$$\begin{align*} [x^{2}, p] &= x[x,p] + [x,p]x \\ &= x \i \hbar +\i \hbar x \\ &= 2 \i \hbar x \end{align*}$$

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