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신경계형 레저버 컴퓨팅 Neuromorphic reservoir computing

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하트만-그로브만 정리

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정의 ¹

클래스 $C^{r} \left( \mathbb{R}^{n} \right)$ 에 속하는 $f$ 에 대해 벡터필드 $\dot{x} = f(x)$ 가 고정점 $x_{0}$ 을 가지며, $f$ 의 자코비안 $Df \left( x_{0} \right)$ 의 고유값이 모두 실수부가 0이 아니라서 하이퍼볼릭하다고 하자. 그러면 $\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$ 는 원래 벡터필드의 선형화된 벡터필드다. $\dot{x} = f(x)$ 으로부터 만들어진 플로우는 $x = x_{0}$ 의 근방에서 $\dot{\xi} = Df \left( x_{0} \right) \xi$ 으로부터 만들어진 플로우와 $C^{0}$-켤레다.

설명

$$ h \left( \phi (t , x) \right) = \psi \left( \alpha (t, x), h(x) \right) $$ 두 플로우 $\phi$ 와 $\psi$ 에 대한 클래스 켤레의 정의는 대략 위를 만족시키는 호메오멀피즘 $h \in C^{0}$ 가 존재한다는 것이므로, 하트만-그로브만 정리^{Hartman-Grobman theorem}가 말하는 것은 사실상 ‘하이퍼볼릭 고정점 근방에서 원래 벡터필드와 선형화된 벡터필드가 아주 유사하다’라는 의미가 된다. 아주 유사하다는 것은 위상적으로는 그냥 같다는 말이니 대단히 중요한 내용이다.

라자팍세-스메일 방정식: 대칭성 없는 피치포크 바이퍼케이션

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시스템 ^{1 2}

$$ \begin{align*} \dot{x} =& y^{2} - \left( \varepsilon + 1 \right) y - x \\ \dot{y} =& x^{2} - \left( \varepsilon + 1 \right) x - y \end{align*} $$

설명

피치포크 바이퍼케이션은 보통 대칭성을 가진 시스템에서 나타나지만, 위의 라자팍세-스메일 방정식은 제곱항이 포함되어 대칭성을 가지지 않음에도 불구하고 $\varepsilon = 0$ 에서 피치포크 바이퍼케이션이 나타난다.

어떻게 보면 ‘피치포크 바이퍼케이션은 대칭성을 가진 시스템에서만 나타난다’라는 명제의 반례로써 의미가 있으며, 이 연구의 영향인지는 몰라도 현재는 ‘피치포크 바이퍼케이션은 보통 대칭성이 있을 때 나타난다’는 식으로 기술되는 경우가 많다.

리미트사이클의 바이퍼케이션

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대칭성을 가진 동역학계의 F-사이클과 S-사이클

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정의 ¹

$I$ 가 항등행렬이라 하자. 동역학계 $\dot{v} = f(v)$ 가 대칭성을 가지는, 다시 말해 어떤 $R \ne I$ 에 대해 다음의 조건을 만족시킨다고 하자. $$ \begin{align*} R f(v) =& f (R v) \\ R^{2} =& I \end{align*} $$

이에 대해 주기해와 리미트 사이클에 대한 고정과 대칭을 다음과 같이 정의한다:

1. $\dot{v} = f(v)$ 의 주기해 $v (t)$ 가 모든 $t$ 에 대해 $R x (t) = x (t)$ 면 고정^fixed이라 한다. 고정 주기해에 해당하는 리미트사이클을 F-사이클^F-cycle이라 한다.
2. $\dot{v} = f(v)$ 의 주기해 $v (t)$ 가 모든 $t$ 에 대해 가장 작은 주기 $T$ 에 대해 다음을 만족하면 대칭^symmetric이라 한다. $$ R x (t) = x \left( t + {\frac{ T }{ 2 }} \right) $$ 대칭 주기해에 해당하는 리미트사이클을 S-사이클^S-cycle이라 한다.

설명

S-사이클의 정의에서, 당연하게도 $R^{2} x = I x = x = x (t + T)$ 인 것은 쉽게 확인할 수 있다. 형식적으로 F-사이클이 $R$ 이라고 하는 대칭변환에 대한 고정점이라 말한다면, S-사이클은 시간 $t$ 에 대해서도 대칭성을 가지는, 그야말로 대칭이라는 이름에 걸맞는 리미트사이클이라 할 수 있겠다.

바이퍼케이션 ²

탄젠트 바이퍼케이션

피치포크 바이퍼케이션

Michaelis–Menten model for enzyme kinetics

$$ \dot{x} = j_{x} - {\frac{V_{max} x}{K_{m} + x}} $$

Kaheman, K., Kutz, J. N., & Brunton, S. L. (2020). SINDy-PI: a robust algorithm for parallel implicit sparse identification of nonlinear dynamics. Proceedings. Mathematical, physical, and engineering sciences, 476(2242), 20200279. https://doi.org/10.1098/rspa.2020.0279

커스프 바이퍼케이션

정의

설명 ²

다차원 시계열을 비교하기 위한 지표: 동적 에러

정의 ¹

어트랙터를 비교하기 위한 지표: 편차치

정의

deviation value

Zhai, Z. M., Kong, L. W., & Lai, Y. C. (2023). Emergence of a resonance in machine learning. Physical Review Research, 5(3), 033127. https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.5.033127

Hodgkin–Huxley model

FitzHugh–Nagumo model

Van der Pol oscillator

첫논문 리뷰

둘쨰논문 리뷰

셋째논문 리뷰

• 퍼뮤테이션 엔트로피: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.174102, http://materias.df.uba.ar/dnla2019c1/files/2019/03/permutation_entropy.pdf
• 셀룰러 오토마타
  • 폰 노이만 네이버후드
  • 무어 네이버후드
• 쿠프만 오퍼레이터
• 하이퍼카오스
• CUR 분해
• Nonnegative matrix factorization