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스톡스 법칙과 항력, 종단 속도

법칙

속도가 $v$ 고 반지름이 $r$ 인 구형 입자가 동점성 계수 $\mu$ 인 유체에서 움직이며 점성에 의해 받는 항력^{drag force} $F$ 는 다음과 같다. $$ F = - 6 \pi \mu r v $$ 이를 스톡스 법칙^{Stokes’ law}이라 한다.

종단속도

유체 속에서 입자가 낙하할 때, 그 종단속도^{terminal velocity} $v_{\infty}$ 는 다음과 같다. $$ v_{\infty} = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$ 여기서 $\rho$ 는 입자의 밀도, $\rho_{f}$ 는 유체의 밀도, $g$ 는 중력가속도다.

설명

스톡스 법칙은 레이놀즈 수가 낮아 층류를 이루며 표면이 매끄럽다는 가정 하에서 성립한다.

언뜻 보아서 종단속도 공식은 상수들이 많아서 기괴해보일 수 있는데, 유도과정을 보면 딱히 그렇지도 않다.

유도

종단속도에서는 입자가 더 이상 가속하지 않는다. 뉴턴의 운동 법칙에서 $F = m a$ 이고, 입자의 질량은 구의 부피인 $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ 에 밀도 $\rho$ 를 곱한 것이므로 중력에 의한 힘 $F_{g}$ 는 다음과 같다. $$ F_{g} = m g = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g $$ 그 반대로 작용하는 부력 $F_{f}$ 는 다음과 같다. $$ F_{f} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g $$ 입자가 가속하지 않는다는 것은 이들의 알짜힘^{net force}이 항력과 균형을 이룬다는 것이고, 수식적으로는 다음과 같이 나타낸다. $$ \begin{align*} F_{g} - F_{f} =& - F \\ \implies \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g - \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g =& 6 \pi \mu r v \end{align*} $$ 이를 $v$ 에 대해 정리하면 종단속도 공식을 얻는다. $$ v = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$

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레일리 수의 정의

정의

유체역학에서 확산으로 인한 열 전달과, 속도가 $u$ 인 지점에서 대류로 인한 열 전달의 시간 스케일의 비인 무차원량을 레일리 수^{Rayleigh number}라 한다. 레일리 수 $\mathrm{Ra}$ 는 특성 길이 $L$, 열전도율 $\alpha$, 점성계수 $\mu$, 밀도 $\rho$, 중력가속도 $g$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. $$ \mathrm{Ra} = {\frac{ \Delta \rho L^{3} g }{ \mu \alpha }} $$

설명

레일리 수는 시간 스케일의 비로 표현되어서 그렇지 그 의미까지 생각해보면 일종의 페클레 수라는 걸 알 수 있다. 결과적으로 레일리 수가 크다는 것은 대류로 인한 열 전달이 확산으로 인한 열 전달보다 빠르다는 것이고, 작다는 것은 그 반대를 말한다. 분자와 분모를 나누어 그 유도과정을 가볍게 살펴보자.

우선 분자는 확산으로 인한 열 전달의 시간 스케일이고, $\alpha$ 는 열전도율이므로 $\mathsf{L}^{2} \mathsf{T}^{-1}$ 의 차원을 가진다. 따라서 시간 스케일은 다음과 같이 특성길이의 제곱인 $L^{2}$ 으로 캔슬한 후 역수를 취한 형태가 된다. $$ \alpha \left[ {\frac{ \mathsf{L}^{2} }{ \mathsf{T} }} \right] \implies {\frac{ L^{2} }{ \alpha }} \left[ \mathsf{T} \right] $$

분모는 속도가 $u$ 인 지점에서 대류로 인한 열 전달의 시간 스케일인데, 속도 $u$ 는 길이를 시간으로 나눈 것이므로 그 차원이 $\mathsf{L} \mathsf{T}^{-1}$ 이고, 분자와 유사하게 특성 길이 $L$ 로 캔슬한 후 역수를 취한 형태가 된다. $$ u \left[ {\frac{ \mathsf{L} }{ \mathsf{T} }} \right] \implies {\frac{ L }{ u }} \left[ \mathsf{T} \right] $$ 여기서 중력에 의해 받는 힘을 생각해보면 $F = m a$ 에서 $m$ 은 질량이므로 질량과 부피의 비인 밀도의 정의에서 $\rho = m / L^{3}$ 이고, 가속도는 중력가속도가 되어 $a = g$ 이므로 $F = \rho L^{3} g$ 가 된다.

열린 동역학계의 정상성

정의 ^{1 2}

1. 시스템 $\dot{x} = f (x)$ 에 영향을 주는 외부 요인 $\lambda$ 가 존재해서 트래젝터리의 운명^fate을 바꿀 수 있으면 그 시스템이 열린^open 시스템이라고 한다.
2. 열린 시스템이 시간 $t$ 에 독립이면 정상적^stationary이라 하고, $\dot{x} = f \left( x , \lambda (t) \right)$ 와 같이 시간에 종속되어 $\lambda = \lambda (t)$ 면 비정상적^{non-stationary}이라 한다.

설명

정상적인 시스템에서 파라미터의 변화에 따라 일어나는 동역학적 변화를 바이퍼케이션이라 하고, 비정상적인 시스템에서 일어나는 동역학적 변화를 티핑 포인트라고 한다.

준정적 어트랙터의 정의

Ashwin, P., Wieczorek, S., Vitolo, R., & Cox, P. (2012). Tipping points in open systems: bifurcation, noise-induced and rate-dependent examples in the climate system. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 370(1962), 1166-1184.

동역학에서 티핑 포인트의 정의

../X003

Patel, D., & Ott, E. (2023). Using machine learning to anticipate tipping points and extrapolate to post-tipping dynamics of non-stationary dynamical systems. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 33(2).

Heßler, M. (2018). Leading indicators in b-and r-tipping systems with focus on eigenvalue estimation (Doctoral dissertation, Ph. D. thesis, Institute for theoretical physics).

B-티핑 포인트

Cantisán, J., Yanchuk, S., Seoane, J. M., Sanjuán, M. A., & Kurths, J. (2023). Rate and memory effects in bifurcation-induced tipping. Physical Review E, 108(2), 024203.

N-티핑 포인트

R-티핑 포인트

정의 ¹

• 프란틀 수
• 슈미트 수
• 페클레 수
  • Rayleigh number
• Lewis number
• 너셀 수
• 셔우드 수

• 퍼뮤테이션 엔트로피: https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.88.174102, http://materias.df.uba.ar/dnla2019c1/files/2019/03/permutation_entropy.pdf
• 셀룰러 오토마타
  • 폰 노이만 네이버후드
  • 무어 네이버후드
• 쿠프만 오퍼레이터
• 하이퍼카오스
• CUR 분해

뒷받침하다: underpin

Neuromorphic reservoir computing

https://doi.org/10.1063/5.0282708

This attention is underpinned by the fundamental principle that increased complexity and biophysical detail in neuronal modeling do not necessarily correlate with improved predictive performance.

deriation value

https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.5.033127

동적 노이즈 dynamical noise

정의 ¹

동역학계, 특히 미분방정식으로 표현되는 시스템에서 결정론적인 시스템 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right)$ 이 주어져 있다고 하자. 우변에 확률벡터 $\mathbf{w}(t)$ 가 더해지면 이 시스템은 비결정론적인 확률과정이 되며, 이 때의 $\mathbf{w}(t)$ 를 동적 노이즈^{dynamical noise}라 한다.

설명

$$ \begin{align*} {{dx} \over {dt}} =& - \sigma x + \sigma y + w_{x} (t) \\ {{dy} \over {dt}} =& - xz + \rho x - y + w_{y} (t) \\ {{dz} \over {dt}} =& xy - \beta z + w_{z} (t) \end{align*} $$ 예를 들어 로렌츠 어트랙터에 동적 노이즈가 추가된 시스템은 위와 같이 나타낼 수 있다.

연구를 하는 입장에서 트래젝터리 $\mathbf{x} (t)$ 에 일괄적으로 화이트 노이즈를 추가하는 것과 가장 뚜렷한 차이점은 솔버를 사용할 때 노이즈가 그때그때 가해진다는 것이다. 말 그대로 변화량 자체가 노이즈로 작용했으므로 그 결과는 연속이지만 원래의 지배 방정식에서는 멀어진다.

동적 에러

정의 ¹

민감도 분석

Marino, S., Hogue, I. B., Ray, C. J., & Kirschner, D. E. (2008). A methodology for performing global uncertainty and sensitivity analysis in systems biology. Journal of theoretical biology, 254(1), 178-196.