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프란틀 수의 정의 $\mathrm{Pr}$

정의

비열 $C_{p}$ 와 과 점성계수 $\mu$ 의 곱을 열전도율 $k$ 로 나눈 무차원량을 프란틀 수Prandtl number라 한다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_p \mu}{k} $$

설명

프란틀 수의 직관적인 해석은 다른 무차원량이 그러하듯 그 크기에 비례하는 요소들을 생각하며 분자와 분모를 나누어 보는 게 좋다. $\mathrm{Pr}$ 이 크다는 것은 비열이 높거나 끈적이지 않거나 열전도율이 낮다는 뜻이다. 상대적으로 큰 $\mathrm{Pr} \gg 0$ 이라는 것은 열전달의 맥락에서 단열재료써 좋다는 의미가 될 것이다.

  • 비열이 높으면 일단 이 물질을 가열하는 것 자체가 지체된다.
  • 끈적인다는 것은 대류가 적게 일어난다는 것이다.
  • 열전도율이 낮아 에너지 전달이 적다.
  • 반대로 열전달 효율을 높여야하는 맥락에서 $\mathrm{Pr}$ 은 낮을수록 좋다.

한편 분자와 분모에 밀도 $\rho$ 를 생각해보면 열전도율 $k$ 는 열확산도 $\alpha$ 에 대해 $k = \rho C_{P} \alpha$ 고 점성계수 $\mu$ 는 동점성계수 $\nu$ 에 대해 $\mu = \rho \nu$ 이므로, 프란틀 수는 다음과 같이 더 간단한 꼴로 나타낼 수도 있다. $$ \mathrm{Pr} = \frac{C_{P} \mu}{\rho C_{P} \alpha} = \frac{\mu / \rho}{\alpha} = \frac{\nu}{\alpha} $$

피크의 법칙과 질량확산도 $D$

../X001

법칙

질량을 가진 입자들의 계system를 생각하되, 부피가 일정하다고 하자. 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 에서 지점 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 의 밀도를 $\mathbf{u} = \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right)$ 와 같이 나타내자. 확산에 의한 유량 $\mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right)$ 을 확산 유량diffusion flux이라 한다. 확산 유량과 밀도에 대한 다음의 두 법칙들을 피크의 법칙Fick’s laws이라 한다.

제1법칙

확산 유량은 밀도의 변화량에 비례한다. $$ \mathbf{J} \left( \mathbf{x} \right) = - D \nabla \mathbf{u} \left( \mathbf{x} \right) $$ 여기서 비례상수 $D$ 를 질량확산도mass diffusivity라 한자.

제2법칙

밀도는 확산방정식을 따른다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} = D \nabla^2 \mathbf{u} $$

설명

직관적으로 보자면 제1법칙은 ‘밀도가 줄어드는 방향으로 확산이 일어난다’는 한 마디로 요약할 수 있다.

제2법칙은 보존방정식과 피크의 제1법칙에서 유도된다. 계에서 질량이 보존된다고 가정하면, 밀도의 시간에 따른 변화량과 확산 유량의 발산의 합은 0이어야 한다. $\mathbf{J}$ 가 단위 시간동안 단위 면적을 지나가는 양이므로, 체적을 가진 양의 경계를 드나드는 양은 그 발산인 $\nabla \cdot \mathbf{J}$ 고 다음을 얻는다. $$ {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$ 이를 보존방정식conservation equation이라 한다.

$\nabla \mathbf{u}$ 의 다이벌전스: $$ \nabla \cdot \nabla \mathbf{u} = \nabla^{2} \mathbf{u} $$

보존방정식에 피크의 제1법칙을 대입하면 다음과 같이 확산방정식이 유도된다. $$ \begin{align*} {\frac{ \partial \mathbf{u} }{ \partial t }} =& - \nabla \cdot \mathbf{J} \\ =& - \nabla \cdot \left( - D \nabla \mathbf{u} \right) \\ =& D \nabla^2 \mathbf{u} \end{align*} $$

질량확산도가 정의되는 방식은 열확산도 $\alpha$ 가 열방정식 $\mathbf{u}_{t} = \alpha \nabla^2 \mathbf{u}$ 에서 정의되는 것과 같다.

유체에서 대류와 확산, 이류의 정의

../X002

정의

유체에 의해 물질이나 열이 움직이는 현상에 대해 말하려고 한다.

  1. 거시적으로 유체가 집단적으로 이동하는 것을 이류advection라 한다.
  2. 미시적인 분자의 움직임에 의해 균질화되는 것을 확산diffusion이라 한다.
  3. 이류와 확산이 동시에 작용해서 물질이나 열이 전달되는 것을 대류convection라 한다.

설명

수식적으로는 이류는 유체의 유속 $\mathbf{u}$ 에 의해 설명되며 확산은 질량확산도 $D$ 나 열확산도 $\alpha$ 와 같은 확산계수에 의해 설명된다.

경험적인 예시로써 차가운 방을 데우는 장치를 상상해보면, 온풍기는 이류를 적극적으로 일으키고 난로는 확산에 의존하는 방식이라 볼 수 있다. 이류는 뜨거운 공기 자체에 힘을 주어서 이동시키는 것과 달리, 확산은 뜨거운 기체 분자가 브라운 운동을 하며 길게 보면 방 전체로 퍼지는 것이다.

뒷받침하다: underpin

Neuromorphic reservoir computing

https://doi.org/10.1063/5.0282708

This attention is underpinned by the fundamental principle that increased complexity and biophysical detail in neuronal modeling do not necessarily correlate with improved predictive performance.

deriation value

https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.5.033127

  • 프란틀 수
  • 슈미트 수
  • 페클레 수
    • 레일리 수
  • 너셀 수
  • 셔우드 수