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곡선 좌표계에서 델 연산자

정의

좌표가 $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$인 임의의 곡선좌표계에서 델 연산자는 다음가 같다.

$$\begin{align*} \nabla &= \dfrac{1}{h_{1}}\dfrac{\partial}{\partial q_{1}} \widehat{\mathbf{q}}_{1} + \dfrac{1}{h_{2}}\dfrac{\partial}{\partial q_{2}} \widehat{\mathbf{q}}_{2} + \dfrac{1}{h_{3}}\dfrac{\partial}{\partial q_{3}} \widehat{\mathbf{q}}_{3} \\ &= \sum\limits_{1}^{3} \dfrac{1}{h_{i}}\dfrac{\partial}{\partial q_{i}} \widehat{\mathbf{q}}_{i} \end{align*}$$

이때 $h_{i}$는 스케일 팩터이다.

설명

델 연산자는 벡터가 아니지만 편의상 위와 같이 표기하였다.

데카르트 좌표계

데카르트 좌표계에서는 $q_{1} = x$, $q_{2} = y$, $q_{3} = z$이고, 스케일 팩터는 $h_{1} = h_{2} = h_{3} = 1$이다.

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial x} \widehat{\mathbf{x}} + \dfrac{\partial}{\partial y} \widehat{\mathbf{y}} + \dfrac{\partial}{\partial z} \widehat{\mathbf{z}}$$

구 좌표계

구 좌표계에서는 $q_{1} = r$, $q_{2} = \theta$, $q_{3} = \phi$이고, 스케일 팩터는 $h_{1} = 1$, $h_{2} = r$, $h_{3} = r\sin\theta$이다.

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial r} \widehat{\mathbf{r}} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \widehat{\boldsymbol{\theta}} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \phi} \widehat{\boldsymbol{\phi}}$$

원통 좌표계

원통 좌표계에서는 $q_{1} = \rho$, $q_{2} = \phi$, $q_{3} = z$이고, 스케일 팩터는 $h_{1} = 1$, $h_{2} = \rho$, $h_{3} = 1$이다.

$$\nabla = \dfrac{\partial}{\partial \rho} \widehat{\boldsymbol{\rho}} + \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \phi} \widehat{\boldsymbol{\phi}} + \dfrac{\partial}{\partial z} \widehat{\mathbf{z}}$$