양자역학에서 조화진동자
도입
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{ d^{2}\psi }{ dx^{2} } + V\psi = E\psi $$
조화진동자의 퍼텐셜은 용수철 상수 $k$에 대해서 $V=\frac{1}{2}kx^{2}$로 주어진다. 이때 각진동수 $\omega$에 대해서 $k = m\omega^{2}$이므로, 이를 대입하면 아래와 같은 조화진동자의 슈뢰딩거 방정식을 얻는다.
방정식
양자역학에서 조화진동자의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{ d^{2}\psi }{ dx^{2} } + \dfrac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi = E\psi $$
설명
고전역학에서 그러했듯이, 양자역학에서도 조화진동자는 기본적이고 중요한 시스템이다. 크게 두 가지 방법의 풀이가 있다.
- 대수적 풀이
- 해석적 풀이