등비수열 {rn}\left\{ r^{n} \right\}{rn}은 −1<r≤1-1 \lt r \le 1−1<r≤1일 때 수렴하며, 그 값은 다음과 같다.
limn→∞rn={0if −1<r<11if r=1 \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \begin{cases} 0 & \text{if } -1 \lt r \lt 1 \\ 1 & \text{if } r = 1 \end{cases} n→∞limrn={01if −1<r<1if r=1
r=1r = 1r=1이면,
limn→∞1n=limn→∞1=1 \lim\limits_{n \to \infty} 1^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1 n→∞lim1n=n→∞lim1=1
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−1<r<1-1 \lt r \lt 1−1<r<1이면, ∣rn∣>∣rn+1∣| r^{n} | > | r^{n+1} |∣rn∣>∣rn+1∣이므로, 모든 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0에 대해서 다음을 만족하는 NNN이 존재한다.
n≥N ⟹ ∣rn−0∣<ϵ n \ge N \implies | r^{n} - 0 | \lt \epsilon n≥N⟹∣rn−0∣<ϵ
따라서 수열의 극한의 정의에 의해 limn→∞rn=0\lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0n→∞limrn=0이다.
