📂단층촬영

라돈 변환

정의

어떤 2차원 도메인 $D\subset \mathbb{R}^{2}$에서 정의된 함수 $f :D \to \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. $f$의 라돈 변환 $\mathcal{R}f$를 다음과 같이 정의한다. $s \in \mathbb{R}$, $\boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta) \in S^{1}$에 대해서,

$$ \begin{align*} \mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}):=&\ \int \limits_{t=-\infty}^{\infty} f ( s \boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^{\perp} )dt \\ =&\ \int \limits_{t=-\infty} ^{\infty} f \left( s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta + t\cos\theta \right)dt \end{align*} $$

설명

라돈 변환은 적분 변환의 일종으로 오스트리아의 수학자 라돈^{Johann Radon, 1887-1956}에서 이름을 따왔다.

방사성 원소인 라돈의 경우, 수학자 라돈의 이름에서 따온 것이 아니라 방사성^radiactive이라는 단어에 비활성기체접미사 ‘-on’을 붙여 이름 지어졌다.

$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta})$의 기하적인 의미는, $f$를 원점에서 $s$만큼 떨어져고, $\boldsymbol{\theta}$와 수직인 모든 점에서 적분하는 것이다.

$f$는 데카르트 좌표 $(x, y)$에 대한 함수인 반면에, 라돈 변환 $\mathcal{R}f$는 극 좌표 $(s, \theta)$에 대한 함수이다.

라돈 변환은 CT의 핵심 원리중 하나이며 베르-람베르트 법칙이라는 물리 법칙을 기반으로 한다. 이는 X-선¹의 세기가 통과하는 매질의 종류에 따라 다르게 감소한다는 내용을 담고 있다. X-선의 세기가 줄어들었다는 말은 곧 매질이 X-선을 흡수했다는 말과 같다. 매질이 빛을 흡수하는 정도를 감쇠 계수^{attenuated coefficient} , 흡수 계수^{absorption coefficient} 혹은 흡광도^absorbance 라고 한다. 매질마다 감쇠 계수가 다르다는 점을 이용하여 X-선으로 비파괴 검사를 실시하는 것이 CT이다. X-선 촬영에서 뼈가 있는 부분이 하얗게 보이는 것은 뼈가 다른 물질보다 X-선을 많이 흡수하기 때문이다.

정의의 다른 표현

$l_{s, \theta}$를 극좌표 $(s,\theta)$로 결정되는 직선이라고 할 때,

$$ \mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int _{l_{s, \theta}} f $$

기하적인 의미를 생각해보면,

$$ \mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int \limits_{ \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f (\mathbf{x}) d \mathbf{x} $$

$\boldsymbol{\theta}^{\perp} := \left\{ \mathbf{u} : \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0 \right\}$와 같이 정의하면,

$$ \mathcal{R} f(s, \boldsymbol{\theta}) = \int \limits_{ \boldsymbol{\theta}^{\perp}} f (s \boldsymbol{\theta} + \mathbf{u}) d \mathbf{u} $$

디랙 델타 함수 $\delta$에 대해서,

$$ \mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{2}} f( \mathbf{x} ) \delta ( \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} - s) d \mathbf{x} $$

일반화

$s \in \mathbb{R}^{1}$, $\boldsymbol{\theta} \in S^{n-1}$에 대해서, 라돈변환 $\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} $$

여기서 $Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$은 $n+1$차원의 유닛 실린더이다.

유도²

$x$를 위치, $I(x)$를 X-선의 세기, $A(x)$를 매질의 감쇠 계수라고 하자.

비어-람베르트 법칙^{Beer-Lambert law}

X-선의 세기의 변화율은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \frac{ dI }{ dx } = -A(x)I(x) \end{equation} $$

$x_{0}$, $x_{1}$를 각각 X-선이 출발한 위치, 도착한 위치, 그리고 $I_{0}$, $I_{1}$를 각 점에서의 X-선의 세기라고 하자. $(1)$을 변수분리해주고 양변을 적분하여 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} && \int_{x_{0}}^{x_{1}} \frac{1}{I(x)}dI &= - \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( I_{1} \right) - \ln \left( I_{0} \right)&= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{1}}{I_{0}}\right) &= -\int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \\ \implies && \ln \left( \frac{I_{0}}{I_{1}}\right) &= \int_{x_{0}}^{x_{1}}A(x)dx \end{align*} $$

위 식을 살펴보자. $I_{0}$는 X-선을 쐈을 때의 세기이므로 우리가 알고있는 값이다. $I_{1}$은 물체를 통과하여 나온 뒤의 세기인데, $x_{0}$에 위치한 디텍터가 이 값을 측정한다. 따라서 좌변은 우리가 알고 있는 값이다.

우변의 적분 범위는 우리가 쏜 X-선의 진행 경로이므로 알 고 있다. 따라서 X-선이 진행한 경로 $L$과 그 양 끝에서의 세기 $I_{0}$, $I_{1}$가 주어지면, $A(x)$를 경로 $L$로 적분한 값을 얻을 수 있다. 이를 $A(x)$에 대한 라돈 변환이라고 한다.

$$ \mathcal{R}f (L) := \int_{L} f(x) dx = \ln \left( \frac{I_{0}}{I_{1}}\right) $$

성질

라돈 변환의 기초적인 성질은 다음과 같다.

• 선형성

  $$ \mathcal{R} \left( \alpha f + \beta g \right) = \alpha \mathcal{R}f + \beta \mathcal{R}g $$

• 평행 불변성^{shift invariance}

  $$ \mathcal{R}T_{\mathbf{a}}f (s, \boldsymbol{\theta}) = T_{\mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\theta}}\mathcal{R}f(s,\boldsymbol{\theta}) $$

• 회전 불변성^{rotation invariance}

  $$ RAf = ARf $$

• 확대 불변성^{dilation invariance}

  $$ RD_{r}f = \dfrac{1}D_{r}Rf $$