📂미분적분학

발산 판정법

정리

만약 급수 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$이 수렴하면, 수열 $\{a_{n}\}$은 $0$으로 수렴한다. $$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent } \implies \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0 $$

증명

급수의 합이 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s$라고 하자. 즉 부분합 $s_{n}$에 대해서 $\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = s$이다. 그러면 $a_{n} = s_{n} - s_{n-1}$이므로,

$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} - \lim\limits_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0 $$

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설명

역은 성립하지 않는다. 즉, 수열 $\{a_{n}\}$이 $0$으로 수렴한다고 해서 급수 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$이 수렴하는 것은 아니다. 유명한 예로 조화급수가 있다. 조화수열 $\left\{ \dfrac{1}{n} \right\}$은 $0$으로 수렴하나, 조화급수는 수렴하지 않는다.

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty $$

대우를 취하면 발산 판정법^{divergence test}이 된다.

발산 판정법

수열 $\{a_{n}\}$이 $0$으로 수렴하지 않으면, 급수 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$은 발산한다.