조화 급수
정의
다음의 급수를 조화급수harmonic series라 한다.
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots $$
설명
발산 판정법의 대표적인 반례이다. 즉 조화 수열은 수렴하지만, 조화 급수는 발산한다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty $$
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} = \ln 2 $$
수렴성
$$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \infty $$