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등차수열의 부분합들도 등차수열임을 증명

정리

등차수열 $a_n = a + (n-1)d$과 그 부분합 $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 그리고 어떤 자연수 $m$ 에 대해 $A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)}$은 등차수열이다.

설명

모르면 정말 고생한다.

예를 들어, 자연수를 세 개씩 끊어 더한 수열을 생각해보면$(1 + 2+ 3)= 6$, $(4+5+6)=15$, $(7+8+9)=24 \cdots$ 는 초항이 6이고 공차가 9인 등차수열이다.

이러한 성질은 등비수열도 가지고 있다. 원리야 사실 단순하니까 한번 꼼꼼하게 읽고 그 다음부터는 팩트만 숙지하도록 하자.

증명

$$A_n = S_{mn} - S_{m(n-1)} = \left\{ a + (mn-1)d \right\} + \left\{ a + (mn-2)d \right\} + \cdots + \left\{ a + (mn-m)d \right\}$$ 각각 $a$와 $d$ 에 대해 묶어내고 식을 정리하면 $$\begin{align*} A_n =& ma + \left\{ m^{2} n - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + \left\{ m^{2} n - m^2 + m^2 - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + ( m^{2} n - m^2 ) d + \left\{ m^2 - { {m(m+1)} \over 2} \right\} d \\ =& ma + ( m^{2} n - m^2 ) d + { {m(m-1)} \over 2} d \\ =& {m \over 2} \left\{ 2a + (m-1)d \right\} + (n-1) m^{2} d \end{align*}$$ 따라서, $A_n$은 초항이 $\displaystyle {m \over 2} \left\{ 2a + (m-1)d \right\}$ 고 공차가 $m^{2} d$인 등차수열이다. 구체적으로 초항과 공차가 무엇인지까지 알아둘 필요는 없다.

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