오일러의 반사 공식 유도
공식
정수가 아닌 $p$ 에 대해 $$ {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } } $$
설명
감마함수를 이용한 공식 중 가장 유명한 공식이다.
반사 공식으로 얻을 수 있는 유용한 결과로는 $ \Gamma ( { 1 \over 2} ) = \sqrt{\pi}$ 이 있다. 그래서일까? 반사 공식이라는 이름 또한 $\frac{1}{2}$ 에 대해 반사 시킨다는 의미에서 붙었다고 한다.
유도
바이어슈트라스의 무한곱: $$ {1 \over \Gamma (p)} = p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } $$
$$ \begin{align*} {{1} \over {\Gamma (p)}} \cdot { 1 \over { \Gamma ( -p )}} =& p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } \cdot (-p) e^{- \gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p \over n} \right) e^{ {p \over n} } \\ =& -p^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) \end{align*} $$ 한편 ${ \Gamma ( 1-p )} = -p \Gamma (-p)$ 이므로 $$ { 1 \over {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} } = p \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) $$
싱크함수의 오일러 표현: $$ {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$
싱크함수의 오일러 표현을 이용해 식을 잘 고치면 원하던 공식을 얻는다.
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