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수반 작용소의 성질 📂힐베르트공간

수반 작용소의 성질

정리1 2

H,KH,K를 힐베르트 공간이라고 하자. 유계 선형 작용소 T:K→HT : K \to H 에 대해 다음을 만족하는 T∗:H→KT^{\ast} : H \to K 를 TT 의 수반 작용소라고 한다.

⟨Tv,w⟩H=⟨v,T∗w⟩K,∀v∈K \left\langle T \textbf{v} , \textbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \textbf{v} , T^{\ast} \textbf{w} \right\rangle_{K},\quad \forall \textbf{v} \in K

유계선형작용소 T:K→HT : K \to H와 U:K→HU : K \to H에 대해 수반 작용소는 다음의 성질을 갖는다.

(a) T∗T^{\ast} 는 선형이고 유계다.

(b) (T∗)∗=T\left( T^{\ast} \right)^{\ast} = T

(c) ∥T∗∥=∥T∥\left\| T^{\ast} \right\| = \left\| T \right\|

(c–1) ∥TT∗∥=∥T∗T∥=∥T∥2\left\| TT^{\ast} \right\| = \left\| T^{\ast}T \right\|= \left\| T \right\|^2

(d) ⟨T∗w,v⟩K=⟨w,Tv⟩H\braket{T^{\ast} \mathbf{w}, \mathbf{v}}_{K} = \braket{\mathbf{w}, T \mathbf{v}}_{H}

(e) (αT+U)∗=α‾T∗+U∗(\alpha T + U)^{\ast} = \overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}

(f) T∗T=0  ⟺  T=0T^{\ast}T = 0 \iff T = 0

(g) (TU)∗=U∗T∗(TU)^{\ast} = U^{\ast}T^{\ast}

증명

(a)

  • Part 1. T∗T^{\ast}는 선형이다

    정의에 따라

    T∗(αw+βu)=αT∗(w)+βT∗(u) T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u})

    를 보이면 된다. T∗T^{\ast}와 내적의 정의에 따라, v∈K\mathbf{v}\in K에 대해서 다음이 성립한다.

    ⟨v,T∗(αw+βu)⟩K= ⟨Tv,αw+βu⟩H= α‾⟨Tv,w⟩H+β‾⟨Tv,u⟩H= α‾⟨v,T∗w⟩K+β‾⟨v,T∗u⟩K= ⟨v,αT∗w+βT∗u⟩K \begin{align*} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}(\alpha \mathbf{w}+ \beta \mathbf{u}) \right\rangle_{K} =&\ \left\langle T\mathbf{v},\alpha \mathbf{w} + \beta \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} +\overline{\beta} \left\langle T\mathbf{v}, \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} +\overline{\beta} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \\ =&\ \left\langle \mathbf{v}, \alpha T^{\ast} \mathbf{w}+\beta T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \end{align*}

    모든 v\mathbf{v}에 대해서 ⟨v,u⟩=⟨v,w⟩\left\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \right\rangle=\left\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\right\rangle 이면 u=w\mathbf{u}=\mathbf{w}이므로,

    T∗(αw+βu)=αT∗(w)+βT∗(u) T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u})

  • Part 2. T∗T^{\ast}는 유계이다

    정의에 따라

    ∥T∗w∥≤C∥w∥,∀w∈H \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le C \left\| \mathbf{w} \right\|,\quad \forall \mathbf{w}\in H

    를 만족하는 상수 CC가 존재하는지 보이면 된다. 내적과 놈의 관계에 의해 다음이 성립한다.

    ∥T∗w∥=sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| = \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right|

    그러면 T∗T^{\ast}의 정의와 코시-슈바르츠 부등식에 의해 다음이 성립한다.

    ∥T∗w∥= sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣= sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨Tv,w⟩H∣≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥Tv∥∥w∥ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*}

    여기서 TT는 유계이므로 ∥Tv∥≤∥T∥∥v∥\left\| T\mathbf{v} \right\|\le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|가 성립한다. 따라서,

    ∥T∗w∥≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥Tv∥∥w∥≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥T∥∥v∥∥w∥≤∥T∥∥w∥ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*}

    이므로 T∗T^{\ast}는 유계이다.

■

(b)

T∗T^{\ast}와 내적의 정의에 의해 간단히 보일 수 있다.

⟨Tv,w⟩H= ⟨v,T∗w⟩K= ⟨T∗w,v⟩K‾= ⟨w,(T∗)∗v⟩K‾= ⟨(T∗)∗v,w⟩K \begin{align*} \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} =&\ \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \\ =&\ \overline{\left\langle T^{\ast}\mathbf{w},\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \overline{\left\langle \mathbf{w},(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \left\langle (T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{K} \end{align*}

이는 모든 w\mathbf{w}에 대해서 성립하므로 Part 1. 에서와 같은 논리로

Tv=(T∗)∗v  ⟹  T=(T∗)∗ T\mathbf{v}=(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v}\implies T=(T^{\ast})^{\ast}

■

(c)

(a) 의 증명으로부터 ∥T∗∥≤∥T∥\left\| T^{\ast} \right\| \le \left\| T \right\|를 얻었다. 같은 방법으로 반대 방향의 부등식을 얻을 수 있다.

∥Tv∥= sup⁡w∈H∥w∥=1∣⟨Tv,w⟩H∣= sup⁡w∈H∥w∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣≤sup⁡w∈H∥w∥=1∥v∥∥T∗w∥≤sup⁡w∈H∥w∥=1∥v∥∥T∗∥∥w∥≤∥T∗∥∥v∥ \begin{align*} \left\| T\mathbf{v} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*}

따라서 ∥T∥≤∥T∗∥\left\| T^{} \right\|\le \left\| T^{\ast} \right\|가 성립하므로,

∥T∥=∥T∗∥ \left\| T \right\| = \left\| T^{\ast} \right\|

■

(c–1)

놈의 정의 ∥⋅∥:=⟨⋅,⋅⟩\| \cdot \| := \sqrt{\braket{\cdot, \cdot}}와 코시-슈바르츠 부등식, 작용소 놈의 정의에 의해 다음을 얻는다.

∥Tv∥2=⟨Tv,Tv⟩=⟨v,T∗Tv⟩≤∥v∥⋅∥T∗Tv∥≤∥v∥2⋅∥T∗T∥ \| T \mathbf{v} \|^{2} = \braket{T \mathbf{v}, T \mathbf{v}} = \braket{\mathbf{v}, T^{\ast}T \mathbf{v}} \leq \| \mathbf{v} \| \cdot \| T^{\ast}T \mathbf{v} \| \le \| \mathbf{v} \|^{2} \cdot \| T^{\ast}T \|

이는 모든 v\mathbf{v}에 대해서 성립하고, ∥T∥=sup⁡∥v∥=1∥Tv∥\| T \| = \sup\limits_{\| \mathbf{v} \| = 1} \| T \mathbf{v} \|이므로, 다음을 얻는다.

∥T∥2≤∥T∗T∥ \| T \|^{2} \leq \| T^{\ast}T \|

한편, 작용소 놈의 성질과 수반작용소의 성질에 의해 다음이 성립한다.

∥T∗T∥≤∥T∗∥⋅∥T∥=∥T∥2 \| T^{\ast}T \| \le \| T^{\ast} \| \cdot \| T \| = \| T \|^{2}

두 부등식에 의해 ∥T∥2=∥T∗T∥\| T \|^{2} = \| T^{\ast}T \|가 성립한다. 위 증명의 시작에서 TT를 T∗T^{\ast}로 바꾸면, 최종적으로 다음을 얻는다.

∥T∗T∥=∥TT∗∥=∥T∥2 \| T^{\ast}T \| = \| TT^{\ast} \| = \| T \|^{2}

■

(d)

내적의 켤레대칭성, 수반연산자의 정의를 차례로 이용하면 다음을 얻는다.

⟨T∗w,v⟩K=⟨v,T∗w⟩K‾(by conjugate symmetry)=⟨Tv,w⟩H‾(by def. of adjoint)=⟨w,Tv⟩H(by conjugate symmetry) \begin{align*} \braket{T^{\ast} \mathbf{w}, \mathbf{v}}_{K} &= \overline{\braket{\mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{w}}_{K}} & \qquad (\text{by conjugate symmetry}) \\ &= \overline{\braket{T \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{H}} & \qquad (\text{by def. of adjoint}) \\ &= \braket{\mathbf{w}, T \mathbf{v}}_{H} & \qquad (\text{by conjugate symmetry}) \end{align*}

■

(e)

내적의 성질, 수반연산자의 정의를 차례료 사용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

⟨(αT+U)∗v,w⟩K=α⟨Tv,w⟩K+⟨Uv,w⟩K=α⟨v,T∗w⟩H+⟨v,U∗w⟩H=⟨v,α‾T∗w⟩H+⟨v,U∗w⟩H=⟨v,(α‾T∗+U∗)w⟩H \begin{align*} \braket{(\alpha T + U)^{\ast} \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} &= \alpha \braket{T \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} + \braket{U \mathbf{v}, \mathbf{w}}_{K} \\ &= \alpha \braket{\mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{w}}_{H} + \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} \mathbf{w}}_{H} \\ &= \braket{\mathbf{v}, \overline{\alpha}T^{\ast} \mathbf{w}}_{H} + \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} \mathbf{w}}_{H} \\ &= \braket{\mathbf{v}, (\overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}) \mathbf{w}}_{H} \end{align*}

따라서 (αT+U)∗=α‾T∗+U∗(\alpha T + U)^{\ast} = \overline{\alpha}T^{\ast} + U^{\ast}이다.

■

(f)

(c–1) 과 놈의 정의 ∥x∥=0  ⟺  x=0\| x \| = 0 \iff x = 0에 의해 성립한다.

T∗T=0  ⟺  ∥T∗T∥=0  ⟺  ∥T∥2=0  ⟺  ∥T∥=0  ⟺  T=0 T^{\ast}T = 0 \iff \left\| T^{\ast}T \right\| = 0 \iff \left\| T \right\|^{2} = 0 \iff \| T \| =0 \iff T = 0

■

(g)

⟨TUv,w⟩=⟨T(Uv),w⟩=⟨(Uv),T∗w⟩=⟨v,U∗(T∗w)⟩=⟨v,(U∗T∗)w⟩ \begin{align*} \braket{TU \mathbf{v}, \mathbf{w}} &= \braket{T(U \mathbf{v}), \mathbf{w}} \\ &= \braket{(U \mathbf{v}), T^{\ast} \mathbf{w}} \\ &= \braket{\mathbf{v}, U^{\ast} (T^{\ast} \mathbf{w})} \\ &= \braket{\mathbf{v}, (U^{\ast}T^{\ast}) \mathbf{w}} \end{align*}

따라서 (TU)∗=U∗T∗(TU)^{\ast} = U^{\ast}T^{\ast}이다.

■

  1. Erwin Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p198-200 ↩︎

  2. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p72 ↩︎