내적 공간에서 0의 성질

정리

$\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$을 내적 공간이라고 하자.

(a) 모든 $\mathbf{x}\in X$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle = 0 $$

(b) 모든 $\mathbf{x}\in X$에 대해서 아래의 식을 만족하는 $X$의 원소는 오직 $\mathbf{0}$뿐이다.

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

(c) $\mathbf{y}, \mathbf{\mathbf{z}} \in X$라고 하자. 그리고

$$ \begin{equation} \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle =\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \right\rangle, \quad \forall \mathbf{x}\in X \end{equation} $$

라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{y}=\mathbf{z} $$

설명

볼드체 $\mathbf{0}$은 벡터공간 $X$의 덧셈에 대한 항등원으로서의 영벡터를 의미한다. $0$은 상수 $0$을 의미한다.

증명

(a)

내적의 정의에 의해

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x}-\mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ 0 \end{align*} $$

■

(b)

$\mathbf{0}$이 아닌 원소 $\mathbf{y} \in X$에 대해서 (a) 가 성립한다고 가정하자. 그러면 $\mathbf{y}$는 $X$의 모든 원소와의 내적이 $0$이여야 하므로 자기 자신과의 내적도 $0$이다.

$$ \left\langle \mathbf{y},\mathbf{y} \right\rangle = 0 $$

그런데 이는 내적의 정의에 모순되므로 (a) 를 만족하는 원소는 오직 $\mathbf{0}$뿐이다.

■

(c)

$(3)$을 가정하자. 그러면

$$ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}-\mathbf{z} \right\rangle = 0 \quad \forall \mathbf{x}\in X $$

이고 (b) 에 의해

$$ \begin{align*} && \mathbf{y}-\mathbf{z} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{y} =&\ \mathbf{z} \end{align*} $$

■