📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서 일반화된 푸리에 계수, 푸리에 급수

정의¹

$H$를 힐베르트 공간, $\left\{ u_{\alpha} \right\}_{\alpha\in A}$를 $H$의 정규직교 시스템이라고 하자. 그러면 고정된 $x\in H$에 대해서 복소 함수 $\hat{x} :A\to \mathbb{C}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\hat{x}(\alpha)=\left\langle x,u_{\alpha} \right\rangle$$

이때 위의 값들을 가리켜 $x$의 $\left\{ u_{\alpha} \right\}$에 대한 푸리에 계수^{Fourier coefficients} 라고 한다.

설명

$x=f$, $\left\{ u_{\alpha} \right\}=\left\{ e^{-i n x} \right\}$라고 하면 $\hat{x}(\alpha)$는 흔히 알고 있는 복소 푸리에 계수가 된다.

$$\hat{x}(\alpha)=c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx$$

또한 유한 차원 힐베르트 공간은 다음의 정리가 성립한다. 이때 정리 (a)의 $(2)$는 유한 차원 힐베르트 공간에 대한 피타고라스 정리, $(4)$는 유한 차원 힐베르트 공간에 대한 베셀 부등식이다.

정리 (b)에서 정의되는 유한합 $s_{F}(x)$를$x$의 푸리에 급수^{Fourier series}라고 한다.

$(3)$은 $s_{F}(x)$가 $M_{F}$에서 $x$에 대한 unique best approximaiton이라는 것을 말해준다.

정리

$\hat{x}$는 $H$의 선형 범함수, 즉 $H$의 듀얼의 원소이다.

$\left\{ u_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$를 힐베르트 공간 $H$의 정규직교 집합, $F$가 $A$의 유한 부분 집합이라고 하자. 그리고 $M_{F}=\text{span} \left\{ u_{\alpha} : \alpha \in F \right\}$라고 하자.

(a) 아래와 같은 $y\in M_{F}$가 존재한다.

$$\begin{equation}\begin{aligned} y&=\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha)u_{\alpha} \\ &=\sum \limits_{\alpha \in F}\left\langle y,u_{\alpha} \right\rangle u_{\alpha} \end{aligned} \end{equation}$$

또한 다음이 성립한다.

$$\begin{equation} \left\| y \right\|^{2} = \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{y}(\alpha) \right|^{2} \end{equation}$$

(b) $x\in H$이고 $s_{F}(x)=\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha}$라고 하자. 그러면 $s_{F}$를 제외한 모든 $s\in M_{F}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\begin{equation} \left\| x-s_{F}(x) \right\| < \left\| x-s \right\| \end{equation}$$

그리고

$$\begin{equation} \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{x}(\alpha) \right|^{2} \le \left\| x \right\|^{2} \end{equation}$$

증명

(a)

$(1)$은 $M_{F}$의 정의에 의해 당연하고, $(2)$도 직교성에 의해 쉽게 알 수 있다.

$$\begin{align*} \left\| y \right\|^{2} =&\ \left\langle y,y \right\rangle \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha) u_{\alpha},\sum \limits_{\alpha \in F}\hat{y}(\alpha) u_{\alpha} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \hat{y}(\alpha_{1}) u_{\alpha_{1}}+ \cdots + \hat{y}(\alpha_{k}) u_{\alpha_{k}} , \hat{y}(\alpha_{1}) u_{\alpha_{1}}+ \cdots + \hat{y}(\alpha_{k}) u_{\alpha_{k}} \right\rangle \\ =&\ \left| \hat{y}(\alpha_{1}) \right|^{2}\left\langle u_{\alpha_{1}},u_{\alpha_{1}} \right\rangle + \cdots + \left| \hat{y}(\alpha_{k}) \right|^{2}\left\langle u_{\alpha_{k}},u_{\alpha_{k}} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{y}(\alpha) \right|^{2} \end{align*}$$

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(b)

우선 $s_{F}(x)$를 간단히 $s_{F}$라고 나타내기로 하자. 그러면 $\left\{ u_{\alpha} \right\}$가 정규직교 집합이므로,

$$\hat{s_{F}}(\alpha)=\left\langle \sum \limits_{\alpha \in F}\hat{x}(\alpha)u_{\alpha},u_{\alpha} \right\rangle=\hat{x}(\alpha)\quad \forall \alpha \in F$$

가 성립한다. 이는 $\alpha\in F$에 대해서, $(x-s_{F})\perp u_{\alpha}$임을 뜻한다. 그러면 $s,s_{F}\in M_{F}$이므로 $(x-s_{F})\perp (s_{F}-s)$가 성립한다. 따라서

$$\left\| x-s \right\| ^{2} = \left\| (x-s_{F})+(s_{F}-s) \right\| ^{2}=\left\| x-s_{F} \right\| ^{2}+\left\| s_{F}-s \right\| ^{2}$$

가 성립하고 이로부터 $(3)$가 성립한다. 또한 위 식에 $s=0$을 대입하면,

$$\left\| x \right\| ^{2} = \left\| x-s_{F} \right\| ^{2}+\left\| s_{F} \right\| ^{2}$$

를 얻으므로 이로부터

$$\left\| s_{F} \right\| ^{2}\le \left\| x \right\| ^{2}$$

를 얻으므로

$$\sum \limits_{\alpha \in F} \left| \hat{x}(\alpha) \right|^{2}=\left\| s_{F} \right\|^{2} \le\left\| x \right\|$$

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