📂푸리에해석

B-스플라인 스케일링 방정식

공식¹

(a) B-스플라인 스케일링 방정식:

오더가 $m\in N$인 B-스플라인 $N_{m}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$\widehat{N_{m}}(2\gamma)=H_{0}(\gamma)\widehat{N_{m}}(\gamma),\quad \forall \gamma \in \mathbb{R}$$

이때 $H_{0}$는 주기가 $1$인 함수이며 다음과 같다.

$$H_{0}(\gamma)=\left( \frac{1+e^{-2\pi i \gamma}}{2} \right)^{m}$$

또한 $f$의 푸리에 변환 $\widehat{f}$의 정의는 다음과 같다.

$$\widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x \gamma}dx$$

(b) 중심 B-스플라인 스케일링 방정식:

비슷하게 오더가 $m$인 중심 B-스플라인 $B_{m}$에 대해서 다음의 식이 성립한다.

$$\widehat{B_{m}}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\widehat{B_{m}}(\gamma),\quad \forall \gamma \in \mathbb{R}$$

이때 $H_{0}$는 주기가 $2$인 함수이며 다음과 같다.

$$H_{0}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma}}{2} \right)^{m}=\cos^{m}(\pi \gamma)$$

증명

(a)

B-스플라인의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$\widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}$$

따라서

$$\begin{align*} \widehat{N_{m}}(2\gamma) =&\ \left( \frac{1-e^{-2\pi i2\gamma}}{2\pi i 2\gamma} \right)^{m} \\ =&\ \frac{(1+e^{-2\pi i \gamma})^{m}(1-e^{-2\pi i \gamma})^{m}}{2^{m}(2\pi i \gamma)^{m}} \\ =&\ \left( \frac{1+e^{-2\pi i \gamma}}{2} \right)^{m} \left( \frac{1-e^{-2\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ H_{0}(\gamma) \widehat{N_{m}}(\gamma) \end{align*}$$

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(b)

중심 B-스플라인의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$\widehat{B_{m}}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}=\left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m}$$

따라서

$$\begin{align*} \widehat{B_{m}}(2\gamma) =&\ \left( \frac{e^{\pi i 2\gamma} - e^{-\pi i 2\gamma}}{2\pi i 2\gamma} \right)^{m} \\ =&\ \frac{(e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma})^{m}(e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma})^{m} }{2^{m}(2\pi i \gamma)^{m}} \\ =&\ \left( \frac{e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma}}{2} \right)^{m} \left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma} }{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ H_{0}(\gamma)\widehat{B_{m}}(\gamma) \end{align*}$$

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