📂푸리에해석

중심 B-스플라인

정의¹

$m\in \mathbb{N}$에 대해서, 중심 B-스플라인 $B_{m}$을 다음과 같이 정의한다.

$$B_{m}(x):= T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x)=N_{m}(x+{\textstyle \frac{1}{2}})$$

이때 $T$는 $L^{2}$ 공간의 트랜슬레이션이다.

설명

다음과 같이 정의할 수도 있다.

$$B_{1}:= \chi_{[-1/2,1/2]},\quad B_{m+1}:=B_{m}*B_{1},\ m\in\mathbb{N}$$

두 정의는 실제로 같은 함수를 의미한다. 여기서 핵심은 $B_{m}$을 우함수가 되게끔 정의했다는 것이다. B-스플라인에서와 같이 다음의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

$$B_{m+1}(x)=\int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x-t)B_{1}(t)dt=\int_{-{\textstyle \frac{1}{2}}}^{{\textstyle \frac{1}{2}}}B_{m}(x-t)dt$$

중심 B-스플라인은 B-스플라인을 평행이동한 것에 불과하므로 B-스플라인의 성질을 그대로 갖는다.

성질

(a) $\mathrm{supp} B_{m}=[-\frac{m}{2},\frac{m}{2}]$

(b) $\displaystyle \int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=1$

(c) $m\ge 2$에 대해서,

$$\sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in R$$

(c’) $m=1$일 때, 위 식은 $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$에 대해서 성립한다.

(d) 중심 B-스플라인의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$\widehat{B_{m}}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}=\left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m}$$

이때 $f$의 푸리에 변환 $\widehat{f}$의 정의는 다음과 같다.

$$\widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x\gamma}dx$$

증명

(a)

$\mathrm{supp}N_{m}=\left[ -\frac{m}{2}, \frac{m}{2} \right]$이고 $B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$이므로,

$$\mathrm{supp} B_{m} = \left[0-\frac{m}{2},m-\frac{m}{2} \right] = \left[ -\frac{m}{2},\frac{m}{2} \right]$$

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(b)

$$\int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1$$

이고 $B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$이므로,

$$\int _{-\infty} ^{\infty} B_{m}(x)dx=\int _{-\infty} ^{\infty} T_{-\frac{m}{2}}B_{m}(x)dx=1$$

■

(c)

$$\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R}$$

이므로,

$$\sum \limits_{k\in \mathbb{Z}}B_{m}(x-k)=\sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} T_{-\frac{m}{2}}N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R}$$

■

(c')

$m=1$일 때, $N_{m}$에 대해서 $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$일 때 성립하고 $B_{m}=T_{- \frac{m}{2}}N_{m}$이므로, $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ \pm\frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots \right\}$에 대해서 성립한다.

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(d)

B-스플라인의 푸리에 변환은 다음과 같다.

$$\widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}$$

그러면 푸리에 변환의 성질에 의해

$$\mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\frac{m}{2}) \right] (\gamma)=e^{2\pi i \frac{ m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma)$$

이므로,

$$\begin{align*} \widehat{B_{m}}(\gamma) =&\ \mathcal{F}\left[ B_{m}(x) \right] (\gamma) =\mathcal{F}\left[ N_{m}(x+\textstyle \frac{m}{2}) \right] (\gamma) \\ =&\ e^{2\pi i \frac{m}{2} \gamma}\widehat{N_{m}}(\gamma) \\ =&\ \left(e^{\pi i \gamma}\right)^{m}\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ \left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m} \end{align*}$$

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