📂푸리에해석

B-스플라인의 성질

성질¹

오더가 $m\in \mathbb{N}$인 B-스플라인 $N_{m}$은 다음과 같은 성질을 만족한다.

(a) $\mathrm{supp}N_{m}=[0,m] \quad \text{and} \quad N_{m}(x)>0 \text{ for } x\in(0,m)$

(b) $\displaystyle \int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1$

(c) $m\ge 2$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R} \end{equation} $$

(c’) $m=1$일 때, 위 식은 $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$에 대해서 성립한다.

설명

(c) 는 다시 말해 $\left\{ N_{m}(x-k) \right\}_{k}$가 단위 분할이라는 뜻이다.

증명

(b)

• Step 1. $m=1$일 때 성립한다.

  $N_{1}$의 정의에 의해 자명하게 다음의 식이 성립한다.

  $$ \int _{-\infty} ^{\infty} N_{1}(x)dx=\int _{0}^{1} dx = 1 $$

• Step 2. $m$일 때 성립하면 $m+1$일 때도 성립한다.

  어떤 $m\in \mathbb{N}$에 대해서

  $$ \int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1 $$

  가 성립한다고 가정하자. 그러면 정의에 의해

  $$ \begin{align*} \int N_{m+1}(x)dx &= \int N_{m} \ast N_{1}(x)dx \\ &= \int_{x} \int_{t}N_{m}(x-t)N_{1}(t)dtdx \\ &= \int_{t}N_{1}(t) \int_{x}N_{m}(x-t)dxdt \\ &= \int N_{1}(t)dt \\ &= 1 \end{align*} $$

• Step 3.

  수학적 귀납법에 의해서 임의의 $m\in N$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ \int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1 $$

■

(c)

• Step 1. $m=2$일 때 성립한다.

  $$ N_{2}(x) = \begin{cases} x & 0\le x \le 1 \\ -x+2 & 1 \le x \le 2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

  이므로

  $$ \begin{align*} N_{2}(x-k) =&\ \begin{cases} x-k & k\le x \le k+ 1 \\ -x+k+2 & k+1 \le x \le k+2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \\ N_{2}(x-(k-1)) =&\ \begin{cases} x-k+1 & k-1\le x \le k \\ -x+k+1 & k \le x \le k+1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align*} $$

  가 성립한다. 어떤 $j\in \mathbb{Z}$에 대해서 $j \le x_{0} \le j+1$라고 하자. 그러면

  $$ N_{2}(x_{0}-k)=0,\quad k\in \mathbb{Z}\setminus \left\{ j,j-1 \right\} $$

  가 성립한다. 따라서

  $$ \begin{align*} \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{2}(x_{0}-k) =&\ N_{2}(x_{0}-j)+N_{2}(x_{0}-(j-1)) \\ =&\ (x_{0}-j)+(-x_{0}+j+1) \\ =&\ 1 \end{align*} $$

  가 성립한다. 이는 임의의 $x_{0}$에 대해서 성립하므로

  $$ \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{2}(x-k) =1 $$

• Step 2. $m$일 때 성립하면 $m+1$일 때도 성립한다.

  어떤 $m\in \mathbb{N}$에 대해서 $(1)$이 성립한다고 가정하자. 그러면 정의에 의해 다음이 성립한다.

  $$ \begin{align*} \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{m+1}(x-k) =&\ \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} \int_{0} ^{1} N_{m}(x-k-t)dt \\ =&\ \int_{0} ^{1} \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k-t)dt \\ =&\ \int_{0}^{1} dt \\ =&\ 1 \end{align*} $$

  두번째 등호는 $\sum _{k\in \mathbb{Z}}$이 Step 1. 에서 보였듯이 유한합이므로 성립한다.

• Step 3.

  수학적 귀납법에 의해서 임의의 $m\in \mathbb{N}$에 대해서 다음이 성립한다.

  $$ \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k) =1 $$

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(c')

$N_{1}$의 정의에 의해

$$ \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{1}(x-k) =\begin{cases} 1 & x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 2 & x \in \mathbb{Z} \end{cases} $$

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