📂동역학

네이막-삭커 바이퍼케이션

정의

쉬운 정의

네이막-삭커 바이퍼케이션^{Neimark-Sacker bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 고정점에서 불변 폐곡선이 생기나거나 사라지는 바이퍼케이션이다¹.

어려운 정의

$n \ge 2$ 라고 하자. $$\dot{x} \mapsto f \left( x , \alpha \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , \alpha \in \mathbb{R}^{1}$$ 주어진 동역학계의 $f$ 가 $x$ 와 $\alpha$ 에 대해 스무스하다고 하자. $\bar{x}$ 가 이 시스템의 하이퍼볼릭한 고정점이라고 할 때, 그 자코비안 행렬 $D f \left( \bar{x} \right)$ 의 고유값 중 둘을 $\lambda_{k_{1}}$, $\lambda_{k_{2}}$ 라 하자. $0 < \theta < \pi$ 에 대해 $\lambda_{k_{1}, k_{2}} = \exp \left( \pm i \theta \right)$ 의 존재성에 연관된 바이퍼케이션을 네이막-삭커 바이퍼케이션이라고 한다².

노멀 폼

$$\begin{align*} \theta =& \theta (\alpha) \\ a =& a (\alpha) \\ b =& b (\alpha) \\ d =& d (\alpha) = a + i b \\ c =& c (\alpha) = e^{i \theta} d (\alpha) \\ \mu =& \mu (\alpha) = \left( 1 + \alpha \right) e^{i \theta} \\ R_{\theta} =& \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{align*}$$ 이하 언급되는 파라미터들은 위와 같이 핵심 파라미터 $\alpha$ 에 종속된 함수의 형태라 가정하고, $R_{\theta}$ 는 회전변환행렬을 나타낸다. 복소수 $z$ 가 $z = x + iy$ 혹은 극좌표계에서 $z = r e^{i \phi}$ 와 같이 나타난다고 하자. 네이막-삭커 바이퍼케이션은 슈퍼크리티컬^{supercritical}과 서브크리티컬^subcritical의 두 가지 타입으로 나뉘며 $a(0) < 0$ 일때 슈퍼크리티컬, $a(0) > 0$ 일때 서브크리티컬이라 한다. 두 타입 모두 다음의 노멀 폼을 가진다.

직교좌표계에서 $$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto (1 + \alpha) R_{\theta} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \left( x^{2} + y^{2} \right) R_{\theta} \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ 복소평면에서 $$z \mapsto e^{i \theta} z \left( 1 + \alpha + d \left| z \right|^{2} \right) = \mu z + c z \left| z \right|^{2}$$

다이어그램

• supercritical: $\alpha$ 가 점점 커진다고 하자. $\alpha \le 0$ 에서는 $z = 0$ 가 스테이블 노드였다가, $\alpha > 0$ 에서 $z = 0$ 가 언스테이블 노드로 바뀌면서 스테이블한 불변 폐곡선이 생겨난다.
• subcritical: $\alpha$ 가 점점 작아진다고 하자. $\alpha \ge 0$ 에서는 $z = 0$ 가 언스테이블 노드였다가, $\alpha < 0$ 에서 $z = 0$ 가 스테이블 노드로 바뀌면서 언스테이블한 불변 폐곡선이 생겨난다.

설명

네이막-삭커 바이퍼케이션은 짧게는 토러스 바이퍼케이션^{torus bifurcation}이라고도 불리는 바이퍼케이션으로써, 쉽게 찾아볼 수 있는 현상은 아니지만 마치 이산적 시스템에서의 호프 바이퍼케이션이라고 볼 수 있으므로 이름 정도는 알아두는 게 좋다.

같이보기

• 호프 바이퍼케이션: 연속적 시스템에서의 네이막-삭커 바이퍼케이션이라 볼 수 있다.