📂초함수론

초함수 컨볼루션 수렴 정리

정리¹

$\phi$가 $\int_{\mathbb{R}^{n}}\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$을 만족하는 테스트 함수라고 하자. 그리고 $\phi_{\epsilon}(\mathbf{x})=\epsilon^{-n}\phi (\epsilon^{-1}\mathbf{x})$라고 하자. 그러면 임의의 초함수 $F$와 정칙 초함수 $T_{F*\phi_{\epsilon}}$에 대해서 $\epsilon \to 0$일 때 $T_{F*\phi_{\epsilon}}$는 $F$로 수렴한다.

$$T_{F * \phi_{\epsilon}} \overset{\text{w}}{\to} F\quad \text{as } \epsilon \to 0$$

설명

‘초함수 컨볼루션 수렴 정리’라는 이름은 위 내용에 딱히 붙여진 이름이 없어서 임의로 붙인 것이다.

증명

$\tilde{\phi}(x)=\phi (-x)$라고 하자. 그러면 $\tilde{\phi}$도 $\phi$와 마찬가지로 $\int \tilde{\phi}=1$이다. 그러면 컨볼루션 수렴 정리에 의해서, 임의의 테스트 함수 $\psi$에 대해 아래의 식이 성립한다.

$$\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi \overset{\text{unif}}{\to} \psi \quad \text{and} \quad \partial ^{\alpha} (\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi)=\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \partial^{\alpha}\psi \overset{\text{unif}}{\to} \partial^{\alpha}\psi$$

그러면 아래의 식이 성립한다.

$$\begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \to 0} T_{F \ast \phi_{\epsilon}}(\psi) &= \lim \limits_{\epsilon \to 0}F(\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi) \\ &= F(\psi) \end{align*}$$

이때 첫번째 등호는 초함수 컨볼루션 보조 정리에 의해 성립한다. 두번째 등호는 초함수의 연속 조건에 의해 성립한다. 그러면 초함수 수렴의 정의에 의해 $T_{F*\phi_{\epsilon}}$은 $F$로 수렴한다.

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