📂초함수론

디랙 델타 초함수로 수렴하는 초함수

정리¹

$f$가 $\int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$를 만족하는 함수라고 하자. 그리고 $f_{\epsilon}(\mathbf{x})=\dfrac{ 1 }{ \epsilon^{n} }f\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right)$라고 하자. 그러면 $f$에 대응되는 정칙 초함수 $T_{\epsilon}=T_{f_{\epsilon}}$은 디랙 델타 초함수로 약 수렴한다. 즉 다음이 성립한다.

$$\lim \limits_{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}=\delta$$

증명

$\tilde{f}(\mathbf{x})=f(-\mathbf{x})$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{x})=\frac{1}{\epsilon}f\left( -\frac{\mathbf{x}}{\epsilon} \right) \quad \text{and} \quad \int_{\mathbb{R}^{n}}\tilde{f_{\epsilon}}d\mathbf{x}=1$$

또한 테스트 함수 $\phi$는 컴팩트 서포트를 가지는 연속함수이므로 유계이다. 그러면 컨볼루션 수렴 정리에 의해서 다음이 성립한다.

$$\lim \limits_{\epsilon \to 0} \phi * \tilde{f_{\epsilon}} (\mathbf{x})=\phi (\mathbf{x})\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$$

따라서 임의의 테스트 함수 $\phi$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits _{\epsilon \to 0} T_{\epsilon}(\phi) &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int f_{\epsilon}(\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &=\lim \limits_{\epsilon \to 0} \int \tilde{f_{\epsilon}}(\mathbf{0}-\mathbf{x})\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x} \\ &= \lim \limits_{\epsilon \to 0} \tilde{f_{\epsilon}}\phi (\mathbf{0}) \\ &=\phi (\mathbf{0}) \\ &=\delta (\phi) \end{align} $$

그러므로 다음과 같다.

$$T_{\epsilon} \overset{\text{w}}{\to} \delta$$

■