싱크함수의 오일러 표현 증명
정의
비정규화된 싱크함수
다음의 함수 $\sinc : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 을 싱크 함수sinc function라 한다.
$$ \sinc x := \begin{cases} \displaystyle {{\sin x} \over {x}} & , \text{if } x \ne 0 \\ 1 & , \text{if } x = 0 \end{cases} $$
정규화된 싱크함수
$$ \sinc x := \begin{cases} \displaystyle {{\sin \pi x} \over {\pi x}} & , \text{if } x \ne 0 \\ 1 & , \text{if } x = 0 \end{cases} $$
정리
오일러 표현
$$ \sinc x = {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$
설명
싱크함수란 $\sin x$ 을 $x$로 나눈 함수로써, 별도의 이름이 붙은만큼 유용한 구석이 많은 함수다. 교과 과정부터 그 이름만 모를 뿐 극한이나 연속 파트에 종종 등장하기도 한다.
본질적으로 그냥 싱크함수와 정규화된 싱크함수는 같은 함수기 때문에, 엄격하게 구분하진 않고 보통 그 때 그 때 용도에 맞는 정의가 쓰인다고 보면 된다.
참고로 싱크함수의 이상적분은 $\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} {{\sin x} \over {x} } dx = \pi$ 로 구해진다.
증명 1
전략: 소개할 증명은 직관적이지 않고 테크니컬한 부분이 많아서 이해하기가 상당히 어렵다. 하지지만 개중에서 그나마 쉬운편인데다 복소해석을 쓰지 않는다는 장점이 있는 증명이다.
Part 1. 우함수 $r(x)$ 의 주기성
싱크함수 $\sinc x$ 와 오일러 표현 $\displaystyle f(x) := \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {\frac{ x^{2} }{ n^{2} }} \right)$ 의 비를 다음과 같이 $x$ 에 대한 함수로 두자. $$ r(x) := {\frac{ \sinc x }{ f(x) }} $$ $\sinc x$ 와 $\sinc (x+1)$ 의 관계는 다음과 같다. $$ \begin{align*} \sinc (x+1) =& {\frac{ \sin \pi (x+1) }{ \pi \cdot (x+1) }} \\ =& {\frac{ - \sin \pi x }{ \pi x }} {\frac{ x }{ x+1 }} \\ =& \left( - {\frac{ x }{ x+1 }} \right) \cdot \sinc x \end{align*} $$ 한편 $f(x)$ 와 $f(x+1)$ 역시 다음과 같은 관계를 가진다. $$ \begin{align*} & \left( - {\frac{ x }{ x+1 }} \right) f(x) \\ =& \left( - {\frac{ x }{ x+1 }} \right) \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) \\ =& \left( - {\frac{ x }{ \cancel{x+1} }} \right) \left( 1 - x \right) \left( 2 - x \right) \cdots \prod_{n=2}^{\infty} {\frac{ 1 }{ n^{2} }} \cancel{\left( 1 + x \right)} \left( 2 + x \right) \cdots \\ =& - \left( 0 - x \right) \left( 1 - x \right) \left( 2 - x \right) \cdots \prod_{n=2}^{\infty} {\frac{ 1 }{ n^{2} }} \left( 2 + x \right) \cdots \\ =& - f(x+1) \end{align*} $$ 따라서 $r(x)$ 는 $1$-주기함수고, $\sinc$ 와 $f$ 가 같다는 걸 보이기 위한 본 증명의 맥락에서 $-1/2 < x \le 1/2$ 만 고려해도 충분하다. 사실 그 뿐만 아니라, $\sinc x$ 와 $f(x)$ 모두 우함수고 그 비로써 정의된 $r(x)$ 역시 우함수기 때문에 $0 < x \le 1/2$ 로 충분하다.
Part 2. 점화식 $(n^2 - c^2) I_{n} (c) = ( n^{2} - n) I_{n-2} (c)$
$$ I_{n} (c) := \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos ^{n} t \cos ct dt $$ 를 정의하자. 그러면 $$ I_{0} (0) = \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos 0 dt = { {\pi} \over {2} } \\ I_{0} (2x) = \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos 2xt dt = \left[ {{\sin 2xt} \over {2x}} \right]_{0}^{{ {\pi} \over {2} }} = {{\sin \pi x} \over {2 x}} $$ 따라서 $$ {{I_{0} (2x)} \over {I_{0} (0)}}= {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \sinc x $$ 고로 $$ {{I_{0} (2x)} \over {I_{0} (0)}}= \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$ 임을 보이면 된다. 우선 $I_{n} (c)$ 을 점화식으로 나타내보자. $$ \begin{align*} I_{n} (c) =& \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos ^{n} t \cos ct dt \\ =& \left[ {1 \over c} \cos^{n} t \sin c t \right]_{0}^{{ {\pi} \over {2} }} - \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } {1 \over c} n \cos ^{n-1} t (-\sin t) \sin ct dt \\ =& {n \over c} \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos ^{n-1} t \sin t \sin ct dt \\ =& {n \over c} \left[ {1 \over c} \cos^{n-1} t \sin t (-\cos c t ) \right]_{0}^{{ {\pi} \over {2} }} \\ & - {n \over c} \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } {1 \over c} \left\{ (n-1) \cos ^{n-2} t (-\sin^2 t) + \cos ^{n} t \right\} (-\cos ct) dt \\ =& {n \over {c^2} } \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \left\{ (n-1) \cos ^{n-2} t (\cos^2 t - 1) + \cos ^{n} t \right\} \cos ct dt \\ =& {n \over {c^2} } \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \left\{ n \cos ^{n} t - (n-1) \cos^{n-2} t \right\} \cos ct dt \\ =& {n \over {c^2} } \left\{ n I_{n}(c) - (n-1) I_{n-2}(c) \right\} \end{align*} $$ 잘 정리하면 다음을 얻는다. $$ (n^2 - c^2) I_{n} (c) = ( n^{2} - n) I_{n-2} (c) $$
위에서 얻은 점화식에 $c=0$ 을 대입해 얻은 식으로 각 변을 나누면 새로운 점화식 $$ { {(n^2 - c^2)} \over {n^2} } {{I_{n} (c)} \over {I_{n} (0)}} = { {I_{n-2} (c)} \over {I_{n-2} (0)} } $$ 를 얻는다. 새로운 점화식에서 우변이 $\displaystyle { {I_{0} (c)} \over {I_{0} (0)} }$ 가 될때까지 반복해보면 $$ \prod_{k=1}^{m} { {(2k)^2 - c^2} \over {(2k)^2} } {{I_{2m} (c)} \over {I_{2m} (0)}} = { {I_{0} (c)} \over {I_{0} (0)} } $$ 여기에 $c=2x$ 를 대입하면 $$ \begin{align*} & \prod_{k=1}^{m} { {(2k)^2 - (2x)^2} \over {(2k)^2} } {{I_{2m} (2x)} \over {I_{2m} (0)}} \\ = & {{I_{2m} (2x)} \over {I_{2m} (0)}} \prod_{k=1}^{m} { {k^2 - x^2} \over {k^2} } \\ = & {{I_{0} (2x)} \over {I_{0} (0)}} \end{align*} $$
Part 3. $\displaystyle \lim_{m \to \infty} {{I_{m} (2x)} \over {I_{m} (0)}}=1$
우리의 목표는 $\displaystyle {{I_{0} (2x)} \over {I_{0} (0)}}= \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right)$ 를 보이는 것이므로, $\displaystyle \lim_{m \to \infty} {{I_{m} (2x)} \over {I_{m} (0)}}=1$ 임을 보이면 증명은 끝난다. 이제 $$ I_{m} (2x) = \int_{0}^{ { {\pi} \over {2} } } \cos ^{m} t \cos 2xt dt $$ 를 생각해보자. Part 1에서 $x \in (0, 1/2]$ 만을 가정할 수 있음을 보였으므로 $t \in [0, 1/2]$ 에 대해 다음의 두 부등식을 얻는다. $$ \begin{align*} \cos 0 > \cos 2 x t \implies & I_{m} (0) > I_{m} (2x) \\ \cos 2 x t > \cos^{2} t \implies & I_{m} (2x) > I_{m+2} (0) \end{align*} $$ 정리하면 $$ I_{m} (0) > I_{m} (2x) > I_{m+2} (0) $$ 인데, 각 변을 $I_{m} (0)$ 으로 나누면 $$ 1 > {{I_{m} (2x)} \over {I_{m} (0)} } > {{I_{m+2} (0)} \over {I_{m} (0)}} $$ 이다. 여기서 앞서 얻은 점화식에 따르면 $$ (m+2)^2 I_{m+2}(0) = (m^2 + 3m + 2) I_{m}(0) $$ 이므로 $$ \lim_{m \to \infty} {{I_{m+2} (0)} \over {I_{m} (0)}} = \lim_{m \to \infty} { {m+1} \over {m+2} } = 1 $$ 이다. 샌드위치 정리에 따라 다음을 얻는다. $$ {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$
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실제 결과는 굉장히 유용하지만 증명 자체는 외워뒀다가 어디 다른데 써먹을만한 방법이 못 된다. 차근차근 이해하고 숙지하는 것보단 아 이런 증명도 있구나 하고 넘어가는 걸 추천한다.