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정칙 스튀름-리우빌 문제의 솔루션의 직교성

정리¹

서로 다른 $\lambda_{n}, \lambda_{m}$이 정칙 S-L 문제의 고유값이고 $u_{n}, u_{m}$이 각각의 고유값에 대응되는 실수값을 갖는 고유함수라고 하자. 그러면 $u_{n}, u_{m}$은 $L_{w}^{2}(a,b)$ 공간에서 서로 수직한다. 즉,

$$\int _{a} ^{b} u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0$$

설명

정칙 스튀름-리우빌 문제

미분 방정식 $(1)$이 구간 $[a,b]$에서 정의되어 있고 아래의 두 조건을 만족시킬 때 정칙 스튀름-리우빌 문제라고 한다.

$(\text{i})$ 모든 $x \in [a,b]$에 대해서, $p(x)>0$, $w(x)>0$

$(\text{ii})$ $(c_{1},c_{2})\ne (0,0)$이고 $(d_{1},d_{2})\ne (0,0)$인 상수에 대해서 아래의 경계 조건이 성립한다.

$$\begin{cases} c_{1}u(a) + c_{2}u^{\prime}(a) =0 \\ d_{1}u(b) + d_{2}u^{\prime}(b) =0 \end{cases}$$

증명

$u_{n}, u_{m}$이 S-L 문제의 솔루션이므로 아래의 식이 성립한다.

$$\begin{align} \left[ p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda_{n} w(x) \right]u_{n}(x) =&\ 0 \\ \left[ p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda_{m} w(x) \right]u_{m}(x) =&\ 0 \end{align}$$

$(1)\times u_{m}-(2)\times u_{n}$을 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && & \left[ p(x)u^{\prime}_{n}(x) \right]^{\prime}u_{m}(x)+\left[ q(x)+\lambda_{n} w(x) \right]u_{n}(x)u_{m}(x) \\ && &- \left[ p(x)u^{\prime}_{m}(x) \right]^{\prime}u_{n}(x)-\left[ q(x)+\lambda_{m} w(x) \right]u_{m}(x)u_{n}(x) = 0 \end{align*}$$

$$\begin{align*} \implies (\lambda_{n}-\lambda_{m})w(x)u_{n}(x)u_{m}(x)=&\ \left[ p(x)u^{\prime}_{m}(x) \right]^{\prime}u_{n}(x)-\left[ p(x)u^{\prime}_{n}(x) \right]^{\prime}u_{m}(x) \\ =&\ \left[ \left( p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right)u_{n}(x)-\left( p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right)u_{m}(x) \right] ^{\prime} \end{align*}$$

이제 위 식의 양 변을 $a$에서 $b$까지 정적분하면 다음과 같다.

$$\begin{equation} \begin{align*} \left( \lambda_{n}-\lambda_{m} \right)\int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx =&\ \left[ \left( p(x)u_{m}^{\prime}(x) \right)u_{n}(x)-\left( p(x)u_{n}^{\prime}(x) \right)u_{m}(x) \right] _{a}^{b} \\ =&\ p(b)\left[ u_{m}^{\prime}(b) u_{n}(b)- u_{n}^{\prime}(b) u_{m}(b) \right] \\ & -p(a)\left[ u_{m}^{\prime}(a)u_{n}(a)-u_{n}^{\prime}(a) u_{m}(a) \right] \end{align*} \end{equation}$$

이때 정칙 S-L 문제의 경계 조건에 의해, $(d_{1},d_{2})\ne (0,0)$에 대해서 아래의 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{align} d_{1}u_{n}(b)+d_{2}u_{n}^{\prime}(b) =&\ 0 \\ d_{1}u_{m}(b)+d_{2}u_{m}^{\prime}(b) =&\ 0 \end{align}$$

일반성을 잃지 않고 $d_{1} \ne 0$이라고 가정하자. 이제 $(4)\times u_{m}^{\prime}(b)-(5)\times u_{n}^{\prime}(b)$를 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &&\left( d_{1}u_{n}(b)+d_{2}u_{n}^{\prime}(b) \right)u_{m}^{\prime}(b)-\left( d_{1}u_{m}(b)+d_{2}u_{m}^{\prime}(b) \right)u_{n}^{\prime}(b) =&\ 0 \\ \implies && d_{1}\left( u_{n}(b)u_{m}^{\prime}(b)-u_{m}(b)u_{n}^{\prime}(b) \right) =&\ 0 \end{align*}$$

그런데 $d_{1} \ne 0$이라 가정했으므로 $\left( u_{n}(b)u_{m}^{\prime}(b)-u_{m}(b)u_{n}^{\prime}(b) \right)=0$이다. 따라서 $(3)$의 마지막줄의 첫번째 항은 $0$이 됨을 알 수 있고, 같은 방식으로 $(3)$의 마지막줄의 두번째 항도 $0$이 된다. 그러므로 아래의 식을 얻는다.

$$\left( \lambda_{n}-\lambda_{m} \right)\int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0$$

$\lambda_{n} \ne \lambda_{m}$이므로,

$$\int _{a} ^{b}u_{n}(x)u_{m}(x)w(x)dx=0$$

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따름정리

유한 닫힌 구간 $[a,b]$위에서 스튀름-리우빌 미분 방정식을 생각해보자.

$$\left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0$$

모든 $x\in(a,b)$에 대해서 $p(x)>0$이고 $w(x)>0$이라고 하자. 그러면

$(\text{i})$ $p(a)=p(b)=0$일 때, 식 $(0)$이 성립한다.

$(\text{ii})$ $p(a)=p(b)$이고, $u(a)=u(b)$, $u^{\prime}(a)=u^{\prime}(b)$이면 식 $(0)$이 성립한다.

증명

$(\text{i})$이거나 $(\text{ii})$이면, $(3)$의 마지막줄이 모두 $0$이므로 $(0)$이 성립한다.

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