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S-L 문제에서 고유값과 고유함수

정의¹

만약 스튀름-리우빌 미분 방정식

$$ \begin{equation} \left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0 \end{equation} $$

이 $0$이 아닌 솔루션 $u \in L_{r}^{2}(a,b)$를 가지면, $\lambda$를 고유값이라 하고 이에 대응하는 $u$를 고유함수라고 한다.

설명

우선 가중 함수가 $w(x)=1$이라고 해보자. 그러면 $(1)$은 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} && p(x)u^{\prime \prime}(x) +p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)+q(x)u(x)+\lambda u(x) =&\ 0 \\ \implies && -p(x)u^{\prime \prime}(x) -p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)-q(x) =&\ \lambda u(x) \end{aligned} \end{equation} $$

여기서 오퍼레이터 $D:C^{2}[a,b] \to C[a,b]$를 다음과 같다고 하자.

$$ Du(x):=-p(x)\frac{ d ^{2}u(x)}{ d x^{2} }-p^{\prime}(x)\frac{ d u(x)}{ d x }-q(x)u(x) $$

그러면 $(2)$를 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$ Du =\lambda u $$

$\lambda$를 S-L 문제에서 고유값이되고, $u$를 이에 대응되는 고유함수이다.