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S-L 문제에서 고유값과 고유함수 📂르벡공간

S-L 문제에서 고유값과 고유함수

정의1

만약 스튀름-리우빌 미분 방정식

[p(x)u(x)]+[q(x)+λw(x)]u(x)=0 \begin{equation} \left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0 \end{equation}

00이 아닌 솔루션 uLr2(a,b)u \in L_{r}^{2}(a,b)를 가지면, λ\lambda고유값이라 하고 이에 대응하는 uu고유함수라고 한다.

설명

우선 가중 함수가 w(x)=1w(x)=1이라고 해보자. 그러면 (1)(1)은 아래와 같이 쓸 수 있다.

p(x)u(x)+p(x)u(x)+q(x)u(x)+λu(x)= 0    p(x)u(x)p(x)u(x)q(x)= λu(x) \begin{equation} \begin{aligned} && p(x)u^{\prime \prime}(x) +p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)+q(x)u(x)+\lambda u(x) =&\ 0 \\ \implies && -p(x)u^{\prime \prime}(x) -p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)-q(x) =&\ \lambda u(x) \end{aligned} \end{equation}

여기서 오퍼레이터 D:C2[a,b]C[a,b]D:C^{2}[a,b] \to C[a,b]를 다음과 같다고 하자.

Du(x):=p(x)d2u(x)dx2p(x)du(x)dxq(x)u(x) Du(x):=-p(x)\frac{ d ^{2}u(x)}{ d x^{2} }-p^{\prime}(x)\frac{ d u(x)}{ d x }-q(x)u(x)

그러면 (2)(2)를 아래와 같이 표현할 수 있다.

Du=λu Du =\lambda u

λ\lambdaS-L 문제에서 고유값이되고, uu를 이에 대응되는 고유함수이다.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p218 ↩︎