S-L 문제에서 고유값과 고유함수
📂르벡공간S-L 문제에서 고유값과 고유함수
정의
만약 스튀름-리우빌 미분 방정식
[p(x)u′(x)]′+[q(x)+λw(x)]u(x)=0
이 0이 아닌 솔루션 u∈Lr2(a,b)를 가지면, λ를 고유값이라 하고 이에 대응하는 u를 고유함수라고 한다.
설명
우선 가중 함수가 w(x)=1이라고 해보자. 그러면 (1)은 아래와 같이 쓸 수 있다.
⟹p(x)u′′(x)+p′(x)u′(x)+q(x)u(x)+λu(x)=−p(x)u′′(x)−p′(x)u′(x)−q(x)= 0 λu(x)
여기서 오퍼레이터 D:C2[a,b]→C[a,b]를 다음과 같다고 하자.
Du(x):=−p(x)dx2d2u(x)−p′(x)dxdu(x)−q(x)u(x)
그러면 (2)를 아래와 같이 표현할 수 있다.
Du=λu
λ를 S-L 문제에서 고유값이되고, u를 이에 대응되는 고유함수이다.