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스튀름-리우빌 미분 방정식

정의¹

$p\in$$C^{1}(\mathbb{R})$이고 $q,r\in C(\mathbb{R})$, $\lambda \in \mathbb{R}$이라고 하자. 아래와 같은 꼴의 미분 방정식을 스튀름-리우빌 미분 방정식^{Sturm-Liouville differential equation}이라 한다.

$$ \begin{equation} \left[ p(x)u^{\prime}(x) \right]^{\prime}+\left[ q(x) +\lambda w(x) \right]u(x)=0 \end{equation} $$

혹은

$$ p(x)u^{\prime \prime}(x)+p^{\prime}(x)u^{\prime}(x)+\left[ q(x)+\lambda w(x) \right]u(x)=0 $$

설명

줄여서 S-L 문제^{S-L problem}라고 부르기도 한다.

여기서 $w$는 가중 함수^{weight function}라고 하는데, 그 이유는 미분 방정식 $(1)$의 해인 $u$들의 함수 공간에서 $w$이 내적에 대한 가중치가 되기 때문이다.

$\lambda$와 $u$는 각각 고유값, 고유함수라 불리는데 이 역시 위 미분 방정식을 고유값 방정식꼴로 나타냈을 때 $\lambda$가 고유값이 되기 때문이다. 또한 $u$에 곱해지는 항이 $q + \lambda w$와 같이 생긴 것은 $\lambda$의 값에 따라 미분 방정식을 좀 더 세세하게 분류하기 위해서라고 생각하면 된다.

임의의 함수 공간에서 내적을 잘 정의하기 위해 정적분 구간과 가중 함수를 정확하게 찾는 것은 어렵다. 또한 찾았다 하더라도 적분을 계산하는 것이 항상 쉬운 것은 아니다. 이때 스튀름-리우빌 문제를 통해 이러한 어려움을 해결할 수 있다. 이때 $(1)$과 같은 미분 방정식을 아무 조건없이 다루는 것은 어렵기 때문에 다음과 같은 조건을 생각하자.

정칙 스튀름-리우빌 문제^{regular Sturm-Liouville problem}

미분 방정식 $(1)$이 구간 $[a,b]$에서 정의되어 있고 아래의 두 조건을 만족시킬 때 정칙 스튀름-리우빌 문제라고 한다.

$(\text{i})$ 모든 $x \in [a,b]$에 대해서, $p(x)>0$, $w(x)>0$

$(\text{ii})$ $(c_{1},c_{2})\ne (0,0)$이고 $(d_{1},d_{2})\ne (0,0)$인 상수에 대해서 아래의 경계 조건이 성립한다.

$$ \begin{cases} c_{1}u(a) + c_{2}u^{\prime}(a) =0 \\ d_{1}u(b) + d_{2}u^{\prime}(b) =0 \end{cases} $$

이러한 문제에 대해서 아래와 같은 힐베르트 공간에 포함되는 미분 방정식의 솔루션 $u$를 찾는 것이 목적이다.

$$ L_{w}^{2}(a,b) := \left\{ u : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \bigg| \int_{a}^{b} \left| u(x) \right|^{2} w(x)dx <\infty \right\} $$

위와 같은 가중 $L^{p}$ 공간에서 내적은 아래와 같이 주어진다.

$$ \langle u, v \rangle _{L_{w}^{2}(a,b)} =\int_{a}^{b} u(x)\overline{v(x)}w(x)dx,\quad u,v\in L_{w}^{2}(\mathbb{R}) $$