📂르벡공간

가중 Lp 공간

정의¹

다음과 같이 정의되는 함수 공간을 가중 $L^{p}$ 공간^{weighted $L^{p}$ space} 혹은 구체적으로 $w$-가중 $L^{p}$ 공간 이라고 한다.

$$L_{w}^{p}(a,b):= \left\{ f : \mathbb{R}\to \mathbb{C}\ \big|\ \int_{a}^{b} \left| f(x) \right|^{p}w(x)dx <\infty \right\}$$

이때 $w:\mathbb{R}\to[0,\infty)$를 가중 함수^{weight function}라 한다.

설명

$L^{p}$ 공간을 일반화한 공간 중 하나이다. $w(x)=1$인 경우에 $L_{w}^{p}=L^{p}$가 성립한다. 가중 $L^{p}$ 공간의 놈은 다음과 같이 정의된다. $1\le p <\infty$에 대해서

$$\left\| f\right\|_{p,w}=\left\| f\right\|_{L_{w}^{p}(a,b)}=\left( \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|^{p}w(x)dx \right)^{\frac{1}{p}}$$

$L_{w}^{p}$공간의 정의에 의해 위 값이 유한함은 자명하다. 특별히 $p=2$인 경우에는 아래와 같이 내적을 정의할 수 있다.

$$\langle f,g \rangle_{L_{w}^{2}(a,b)}=\int_{a}^{b}f(x)\overline{g(x)}w(x)dx,\quad f,g \in L_{w}^{2}(\mathbb{R})$$

$L^{2}$ 공간과 마찬가지로 힐베르트 공간이 된다.