테일러 급수와 매클로린 급수
빌드업1
주어진 함수 $f$가 멱급수로 표현된다고 하자.
$$ f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2}(x - a)^{2} + c_{3}(x - a)^{3} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{1} $$
여기서 함수 $f$의 멱급수 표현을 구체적으로 찾는 것은, 각 항의 계수 $c_{n}$을 구하는 것과 같다. 우선 양 변에 $x = a$를 대입하면, $c_{0}$를 구할 수 있다.
$$ f(a) = c_{0} + c_{1}(a - a) + c_{2}(a - a)^{2} + c_{3}(a - a)^{3} + \cdots = c_{0} $$
$(1)$을 미분하면 다음을 얻는다.
$$ f^{\prime}(x) = c_{1} + 2c_{2}(x - a) + 3c_{3}(x - a)^{2} + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{2} $$
양 변에 $x = a$를 대입하면, $c_{1}$을 구할 수 있다.
$$ f^{\prime}(a) = c_{1} $$
다시 $(2)$를 미분하고 $x = a$를 대입하면,
$$ f^{\prime\prime}(x) = 2c_{2} + 3 \cdot 2c_{3}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R \tag{3} $$
$$ f^{\prime\prime}(a) = 2c_{2} $$
한 번 더 반복하면,
$$ f^{\prime\prime\prime}(x) = 3 \cdot 2c_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2c_{4}(x - a) + \cdots \qquad |x - a| \lt R $$
$$ f^{\prime\prime\prime}(a) = 3 \cdot 2c_{3} $$
이런 식으로 계속하면 $c_{n}$이 다음과 같이 표현됨을 알 수 있다.
$$ f^{(n)}(a) = n! \cdot c_{n} \implies c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} $$
따라서 $(1)$은 다음과 같이 표현된다.
$$ f(x) = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n} $$
이때 우변의 급수를 $f$의 테일러 급수라 정의한다.
정의
무한히 미분가능한 함수 $f$의 $a$에서의 테일러 급수Taylor series of $f$ at $a$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^{n} = f(a) + \frac{f^{\prime}(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x - a)^{2} + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!}(x - a)^{3} + \cdots $$
설명
특히 $a = 0$일 때의 급수를 매크로린 급수Maclaurin series라 한다.
$f$가 멱급수로 표현된다면, $f$와 $f$의 테일러 급수는 같다. 그러나 $f$의 테일러 급수가 항상 $f$와 같은 것은 아니다. 특정한 조건을 만족하면 $f$와 $f$의 테일러 급수가 같다는 것이 증명되어 있다.
$f$와 $f$의 테일러 급수가 다른 예1
다음과 같은 함수 $f$가 주어져있다.
$$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^{2}} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $$
급수의 계수를 찾기위해 $f^{\prime}(0)$을 구해보자.
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^{2}} - 0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}} $$
여기서 수식을 정리하고 로피탈 정리를 사용하면,
$$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot e^{-1/h^{2}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1/h}{e^{1/h^{2}}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{-1/h^{2}}{-2e^{1/h^{2}}/h^{3}} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h}{2e^{1/h^{2}}} = 0 $$
같은 방식으로 $n \in \mathbb{N}$에 대해서 $f^{(n)} = 0$임을 보일 수 있다. 따라서 $f$의 매클로린 급수는 다음과 같다.
$$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{0}{n!}x^{n} = 0 $$
하지만 분명하게도 $x \ne 0$에 대해서 $f(x) \ne 0$이므로 $f$와 $f$의 매클로린 급수는 같지 않다는 것을 알 수 있다.