logo

적분 변환이란 📂선형대수

적분 변환이란

정의

함수공간에서 함수공간으로의 맵 JJ가 아래와 같은 적분으로 정의되면 JJ를 적분변환integral transform이라 한다.

(Jf)(x)=∫abK(x,t)f(t)dt (Jf) (x) = \int_{a}^{b} K(x,t)f(t)dt

J:f(⋅)↦∫abK(⋅,t)f(t)dt J : f(\cdot) \mapsto \int_{a}^{b} K(\cdot,t)f(t)dt

이때 KK를 JJ의 커널kernel이라 한다. JfJf에서 ff로의 맵이 존재하면 이를 J−1J^{-1}로 표기하고 JJ의 역변환inverse transform이라 한다.

설명

적분이 선형이므로, 적분변환은 선형변환이다.

적분 영역이 꼭 유계여야할 필요는 없다. a=−∞a=-\infty이거나 b=∞b=\infty이거나 둘 다여도 무관하다. 적분 변환은 위 정의에 따라 아무렇게나 만들어도 상관 없지만 제대로된 의미를 지니려면 주어진 문제를 ff로 푸는 것보다 JfJf로 푸는 것이 더 쉽거나, 역변환이 존재하여 JfJf와 ff를 자유자제로 바뀔 수 있어야 한다. 적분 변환의 예로 다음과 같은 것들이 있다.

  • 푸리에 변환 F\mathcal{F}:

    Ff(ξ)=∫−∞∞f(x)eiξxdx,K(x,ξ)=eiξx \mathcal{F}f(\xi)=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{i \xi x}dx,\quad K(x,\xi)=e^{i\xi x}

  • 라플라스 변환 L\mathcal{L}:

    Lf(s)=∫0∞f(t)e−stdt,K(t,s)=e−st \mathcal{L}f(s)=\int _{0} ^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\quad K(t,s)=e^{-st}

  • 멜린 변환 M\mathcal{M}:

    Mf(s)=∫0∞f(x)xs−1dx,K(x,s)=xs−1 \mathcal{M}f(s)=\int_{0}^{\infty} f(x)x^{s-1}dx,\quad K(x,s)=x^{s-1}

  • 라돈 변환 R\mathcal{R}:

    Rf(s,θ)=∫−∞∞f(scos⁡θ−tsin⁡θ,ssin⁡θ+tcos⁡θ)dt \mathcal{R}f(s,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos\theta-t\sin\theta, s\sin\theta+t\cos\theta)dt

같이보기