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놈은 연속 사상임을 증명

정리

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. 그러면 $\lim \limits_{k\to\infty} x_{k} = x$인 $X$의 수열 $\left\{ x_{k} \right\}$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$\lim \limits_{k \to\infty} \left\| x_{k} \right\| = \left\| x \right\|$$

설명

$\left\| \cdot \right\|$가 연속 함수라는 뜻이다. 극한 기호는 연속 함수에 대해서 안팎을 자유롭게 드나들 수 있으므로 매우 좋은 성질이다.

증명

$\lim \limits_{k\to\infty} x_{k}=x$라고 가정했으므로 다음의 식이 성립한다.

$$\lim \limits_{k\to\infty} \left\| x-x_{k} \right\| = 0$$

또한 역 삼각 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$\left\| x \right\| - \left\| x_{k} \right\| \le \left\| x - x_{k} \right\|$$

양변에 극한을 취하면

$$\lim \limits_{k\to\infty} \left( \left\| x \right\| - \left\| x_{k} \right\| \right) \le \lim \limits_{k\to\infty} \left\| x - x_{k} \right\| = 0$$

따라서

$$\lim \limits_{k \to\infty} \left\| x_{k} \right\| = \left\| x \right\|$$

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