📂해석개론

불연속성의 분류

정의¹

• 거리공간 $X$에서 정의된 함수 $f :X \to \mathbb{R}$이 주어졌다고 하자. 만약 $f$가 $x\in X$에서 연속이 아니면, $f$는 $x$에서 불연속하다^{discontinuous} 고 하거나 $x$에서 불연속성^{discontinuity} 을 갖는다고 한다.

$f: (a,b) \to \mathbb{R}$이라고 하자.

• $f$가 $x\in (a,b)$에서 불연속하고, $x$에서의 좌/우극한 $f(x-)$, $f(x+)$이 존재하면 $f$가 $x$에서 제1 종 불연속성^{discontinuity of the first kind}을 갖는다 고 하거나 $f$는 간단 불연속^{simple continuity}이라고 한다.

  제1 종 불연속성은 다시 두가지로 나뉜다.

  • 만약 $f(x-)=f(x+)$이면 $f$가 $x$에서 제거가능 불연속성^{removable discontinuity}을 갖는다고 한다.

  • $f(x-)\ne f(x+)$이면 $f$가 $x$에서 점프 불연속성^{jump discontinuity}을 갖는다고 한다.

• $f$가 $x$에서 불연속하고, $x$에서의 좌/우극한 $f(x-)$, $f(x+)$중에서 하나라도 존재하지 않으면 $f$가 $x$에서 제2 종 불연속성^{discontinuity of the second kind}을 갖는다 고 한다. 특히 좌극한, 우극한 중 하나라도 무한대로 발산하면 $f$가 $x$에서 무한 불연속성^{infinite discontinuity}을 갖는다 고 한다.

  제2 종 불연속성은 essential discontinuity라고도 한다.

설명

$f$가 $x$에서 제거가능 불연속이면 $x$에서의 함숫값을 바꿔주는 것만으로도 $x$에서의 불연속성을 없앨 수 있다.