📂초함수론

조절 초함수

정의¹

슈바르츠 공간의 연속인 선형 범함수 $T:\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) \to \mathbb{C}$를 조절 초함수^{tempered distribution}라고 한다. 다시 말해 조절 초함수는 슈바르츠 공간의 듀얼 스페이스의 원소이다. 따라서

$$ T \in \mathcal{S}^{ \ast } $$

와 같이 표기하고 $\mathcal{S}^{ \ast }$를 조절 초함수 공간^{space of tempered distribution}이라 부른다.

설명

조절 초함수 $T$는 선형이므로 다음이 성립한다.

$$ T(a\phi + b \psi) = aT(\phi) + bT(\psi)\quad \left( \phi,\psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}),\ a,b\in\mathbb{C} \right) $$

또한 연속이므로 다음이 성립한다.

$$ \left\{ \phi _{n} \right\} \to \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n}) \implies \left\{ T(\phi_{n}) \right\} \to T(\phi) \quad \left( \phi_{n},\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})\right) $$

초함수의 경우 정의역의 원소인 테스트 함수가 컴팩트 서포트를 가지고 있기 때문에 얼마나 빠르게 값이 커지든지 상관없었다. 그런데 슈바르츠 함수는 테스트 함수와 달리 컴팩트 서포트를 가지지 않으므로 조절 초함수가 빠르게 커지면 안된다. tempered라는 명명은 이런 의미에서 나온 것이고, 같은 이유로 조절 초함수를 distribution of slow growth라고 부르기도 한다.