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곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트기울기 📂수리물리

곡선 좌표계에서 스칼라 함수의 그래디언트기울기

정리

곡선 좌표계에서 스칼라 함수 f=f(q1,q2,q3)f=f(q_{1},q_{2},q_{3})의 그래디언트는 다음과 같다.

∇f=1h1∂f∂q1q^1+1h2∂f∂q2q^2+1h3∂f∂q3q^3=∑i=131hi∂f∂qiq^i \nabla f= \frac{1}{h_{1}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{1} } \hat{\mathbf{q}}_{1} + \frac{1}{h_{2}}\frac{ \partial f }{ \partial q _{2}}\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1}{h_{3}}\frac{ \partial f }{ \partial q_{3} } \hat{\mathbf{q}}_{3}=\sum \limits _{i=1} ^{3}\frac{1}{h_{i}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{q}}_{i}

hih_{i}는 스케일 팩터이다.

공식

  • 직교 좌표계:

    h1=h2=h3=1 h_{1}=h_{2}=h_{3}=1

    ∇f=∂f∂xx^+∂f∂yy^+∂f∂zz^ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{\mathbf{x}} }+ \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}}

  • 원통 좌표계:

    h1=1,h2=ρ,h3=1 h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1

    ∇f=∂f∂ρρ^+1ρ∂f∂ϕϕ^+∂f∂zz^ \nabla f = \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{\mathbf{z}}}

  • 구 좌표계:

    h1=1,h2=r,h3=rsin⁡θ h_{1}=1,\quad h_{2}=r\quad, h_{3}=r\sin\theta

    ∇f=∂f∂rr^+1r∂f∂θθ^+1rsin⁡θ∂f∂ϕϕ^ \nabla f= \frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{\hat r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \boldsymbol{\hat \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\boldsymbol{\hat \phi}

유도

3차원 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 식을 만족하는 a\mathbf{a}를 ff의 그래디언트라고 이름 붙이고 ∇f\nabla f라고 표기하기로 정의했다.

df=a⋅dr d f =\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}

임의의 곡선 좌표계에서도 이와 같은 식으로 정의한다. ff의 전미분은 아래와 같다.

df=∂f∂q1dq1+∂f∂q2dq2+∂f∂q3dq3 d f = \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3}

곡선 좌표계에서 위치벡터 r\mathbf{r}의 미소 변화량은 다음과 같다.

dr=h1dq1q^1+h2dq2q^2+h3dq3q^3 d\mathbf{r}=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+h_{3}dq_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}

이제 우리가 찾고자 하는 것은 아래의 식을 만족시키는 a\mathbf{a}이다.

df=a⋅dr \begin{equation} df=\mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} \end{equation}

a=a1q^1+a2q^2+a3q^3\mathbf{a}=a_{1}\hat{\mathbf{q}}_{1}+a_{2}\hat{\mathbf{q}}_{2}+a_{3}\hat{\mathbf{q}}_{3}라고 하면 (1)(1)은 아래와 같다.

∂f∂q1dq1+∂f∂q2dq2+∂f∂q3dq3=a1h1dq1+a2h2dq2+a3h3dq3 \frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }dq_{1}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial f}{ \partial q_{3}}dq_{3} = a_{1}h_{1}dq_{1}+a_{2}h_{2}dq_{2}+a_{3}h_{3}dq_{3}

따라서 ai=1hi∂f∂qia_{i}=\dfrac{1 }{h_{i}}\dfrac{ \partial f}{ \partial q_{i} }이고 다음이 성립한다.

a=1h1∂f∂q1q^1+1h2∂f∂q2q^2+1h3∂f∂q3q^3 \quad \mathbf{a}=\frac{1 }{h_{1}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{1} }\hat{\mathbf{q}}_{1}+\frac{1 }{h_{2}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{2} }\hat{\mathbf{q}}_{2}+\frac{1 }{h_{3}}\frac{ \partial f}{ \partial q_{3} }\hat{\mathbf{q}}_{3}

이제 위와 같은 벡터 a\mathbf{a}를 ff의 그래디언트라고 정의하고 ∇f\nabla f라고 표기한다.

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