놈 공간에서 수열의 수렴
📂바나흐공간놈 공간에서 수열의 수렴
정의
(X,∥⋅∥)를 놈 공간이라고 하자. X의 수열 {xn}에 대해서
n→∞lim∥x−xn∥=0,x∈X
가 성립하면, 수열 {xn}이 x로 수렴한다converge고 하고 아래와 같이 나타낸다.
xn→x as n→∞orx=n→∞limxn
설명
수렴을 정의하기 위해서는 거리가 필요한데, 놈 공간에서는 d(x,y)=∥x−y∥와 같이 자연스럽게 거리를 정의할 수 있으므로 거리공간에서의 정의에서 거리만 놈으로 바꾼 것과 같다.
모든 ϵ>0에 대해서 아래의 식을 만족하는 자연수 N∈N이 존재하면 수열 {xn}이 x로 수렴한다고 한다.
∥x−xn∥<ϵ∀n≥N
약 수렴와 비교해서 강하게 수렴한다 고 말하기도 한다.
==xn converges to x xn converges in norm to x xn converges strongly to x