원통 좌표계의 변수로 r, 세타를 쓰면 안되는 이유
원통좌표의 표기법
원통 좌표계는 3차원 공간의 점을 $(\rho, \phi, z)$와 같이 나타내는 좌표계를 말한다. 이때,
- $\rho$: 위치벡터 $\mathbf{r}$을 $xy$-평면에 사영한 벡터의 크기
- $\phi$: 사영한 벡터와 $x$축 사이의 각도
- $z$: 위치벡터 $\mathbf{r}$를 $z$축으로 사영한 벡터의 크기
그런데 원통 좌표계의 표기법으로 $(r,\theta, z)$도 종종 사용된다. 이 표기법을 사용하는 이유는 원통좌표계가 극좌표계 $(r,\theta)$에서 높이 $z$가 추가되었다고 단순하게 생각했기 때문으로 보인다. 표기법이라는 건 사용하기 나름이니까 어떻게 사용하든 원통좌표계라고 말해서 의미만 통하면 그만인거 아니냐고 할 수도 있지만, 반대로 이렇게 사용하는 것은 각 문자가 가지는 의미의 통일성을 해친다. 우선 공간 좌표계에서 $r$이라는 변수는 원점에서 해당 좌표까지의 직선 거리 를 의미한다. 그래서 위치 벡터position vector를
$$ \mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}} $$
으로 표기하는 것이다.
극좌표, 구좌표와의 비교
극좌표 $(r, \theta)$나 구좌표 $(r, \theta, \phi)$는 그림에 나와있는 것과 같이 실제로 $r$이 원점과 좌표사이의 직선 거리를 나타내지만, 원통 좌표계를 $(r, \theta, z)$로 표기할 경우 $r$은 원점과의 거리를 나타내는 것이 아니게 된다.
원통 좌표계에서의 첫번째 변수는 위치 벡터 $\mathbf{r}$을 $xy-$평면에 사영하여 얻은 벡터의 길이이다. 따라서 $\rho$ 혹은 $s$로 표기한다(뭐로 하든 $r$은 아니라는 것이다). 마찬가지로 $\theta$는 위치 벡터 $\mathbf{r}$과 좌표축까지의 각도이다. 또한 두번째 변수는 위치 벡터와 좌표축까지의 각도가 아니라 위치벡터를 $xy-$평면에 사영한 벡터와 좌표축까지의 각도이다. 따라서 $\theta$가 $\phi$로 표기해야한다. 이러한 이유로 원통 좌표계를 $(\rho, \phi, z)$로 표기해야 좌표계가 바뀌어도 각 문자가 가지는 의미의 일관성을 지킬 수 있다. 심지어 구면 좌표계를 $(r, \phi, \theta)$라고 표기한 경우에도 여기서 $\phi$와 $\theta$의 의미 자체는 변하지 않고 단지 순서를 바꿔 표기했을 가능성이 높다.