📂초함수론

초함수의 다일레이션

빌드업

초함수는 정의역이 함수공간이기 때문에 실수 공간에서 정의된 함수와 같은 식으로 다일레이션을 할 수 있는 건 아니다. 하지만 정칙 초함수의 경우 대응되는 국소 적분 가능한 함수 $u\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 있어서 아래와 같이 표현된다.

$$T_{u}(\phi) =\int u(x)\phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

따라서 $u$에 가해지는 어떤 작용 $S$에 의해 $Su=u^{\prime}$을 얻을 수 있을텐데 여전히 $u^{\prime}$이 국소 적분 가능한 함수라면 거기에 대응되는 초함수 $T_{u^{\prime}}$이 존재한다. 따라서 $u$에 대한 작용 $S$를 $T_{u}$에 대한 작용인 것처럼 생각하자는 것이다. 이러한 아이디어를 초함수 전체로 확장하여 초함수의 다일레이션을 정의하려고 한다.

$c>0$에 대한 다일레이션을 $D_{c}$라고 하자. 그리고 $u$의 다일레이션을 $u^{\prime}(x)=D_{c}u(x)=\frac{1}{\sqrt{c}}u({\textstyle \frac{x}{c}})$라고 하자. 그러면 여전히 $u^{\prime}\in L_{\mathrm{loc}}^{1}$이다. 따라서 대응되는 정칙 초함수 $T_{u^{\prime}}$가 존재하고 테스트 함수 $\phi \in \mathcal{D}$에 대해서 다음과 같다.

$$\begin{align*} T_{u^{\prime}}(\phi)&=\int u^{\prime}(x)\phi (x)dx \\ &= \int \frac{1}{\sqrt{c}}u\left( \frac{x}{c} \right)\phi (x)dx \\ &=\int u(x) \sqrt{c}\phi (cx)dx \\ &= \int u(x) D_{1/c}\phi (x) dx \\ &= T_{u}(D_{1/c}\phi) \end{align*}$$

정의¹

초함수 $T$의 다일레이션을 아래와 같이 정의 한다.

$$(D_{c}T)(\phi):= T_{u}(D_{1/c}\phi)$$