📂해석개론

멱급수의 수렴반경

정리¹

주어진 멱급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$에 대해서, $\alpha$와 $R$을 다음과 같이 두자.

$$ \alpha = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}, \qquad R = \dfrac{1}{\alpha} $$

그러면 $\left| x - a \right| \lt R$일 때 급수는 수렴하고, $\left| x - a \right| \gt R$일 때 급수는 발산한다.

• $\alpha = 0$이면 $R = \infty$, $\alpha = \infty$이면 $R = 0$으로 둔다.

정의

위 정리에 따른 $R$을 멱급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(x - a)^{n}$의 수렴반경^{radius of convergence}이라 한다.

설명

아래의 증명으로부터, 수렴반경이 $R$인 멱급수 $\sum\limits_{} c_{n} (x - a)^{n}$은 열린 구간 $(a - R, a + R)$에서 절대수렴한다는 것을 알 수 있다.

증명

$a_{n} = c_{n} (x - a)^{n}$이므로 여기에 근 판정법을 사용하면,

$$ \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}| \left| x - a \right|^{n}} = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_{n}|} \left| x - a \right| = \dfrac{\left| x - a \right|}{R} $$

근 판정법에 의해서 $\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \lt 1$일 때 급수가 수렴하고, $\dfrac{\left| x - a \right|}{R} \gt 1$일 때 발산한다.

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