📂동역학

2차원 자율 시스템에선 혼돈이 일어나지 않는다 푸앙카레-벤딕슨 정리 증명

정리

$2$차원 매니폴드 $\mathcal{P}$ 와 함수 $f,g \in C^{r} \left( \mathcal{P} \right)$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x,y) \\ \dot{y} = g(x,y) $$ $\mathcal{M}$ 이 벡터필드의 유한한 수의 고정점을 가지는 양불변집합이라고 하면, $p \in \mathcal{M}$ 의 오메가 리미트 셋 $\omega (p)$ 은 다음 세가지 중 하나를 만족한다:

• (1): $\omega (p)$ 는 홑원소 집합이다. 즉, 단 하나의 고정점만을 포함한다.
• (2): $\omega (p)$ 는 닫힌 오빗이다.
• (3): $\omega (p)$ 는 유한한 수의 고정점 $p_{1} , \cdots , p_{n}$ 의 어떤 $i,j \in [1,n]$ 에 대해 다음을 만족하는 오빗 $\gamma$ 들로 이루어져있다. $$ \alpha ( \gamma ) = \left\{ p_{i} \right\} \\ \omega ( \gamma ) = \left\{ p_{j} \right\} $$

설명

거리 공간은 당연히 $T_{1}$ 공간이고 $T_{1}$ 에서는 홑원소 집합이 닫힌 집합임을 보장할 수 있으므로 $\omega (p) = \left\{ p \right\}$ 은 당연히 닫힌 오빗이라고 할 수 있지만, 스테이트먼트의 맥락 상 고정점 하나만을 포함하는 경우엔 다른 것으로 구분하도록 하자.

사실 푸앙카레-벤딕슨 정리에서 혼돈이라는 것은 정의될 필요도 없고, 혼돈이 일어나지 않는다는 스테이트먼트 자체는 따름정리에 가깝다. 정리가 말해주는 것은 그저 오메가 리미트 셋의 분류일 뿐이며, 그것이 정확하게 우리가 아는 것으로 이루어져 있으니 혼돈이 일어날 수 없다는 사실이 연역되는 것이다. 그러나 이러한 정리가 있음으로 하여 카오스 이론의 관심은 $2$차원을 확실히 벗어날 수 있게 된다.

정리의 직관적인 이해는 별로 어렵지 않다. $\mathcal{M}$ 이 바운드가 되지 않는다면 애초에 혼돈이 되지 못하며, 바운드가 된다면 영원히 뻗어나갈 순 없으니 플로우가 좁아지면서 돌든 퍼지면서 돌든 해야한다. 그런데 $3$차원과는 달리 $2$차원에선 선이 평면을 두 영역으로 나누어버리기 때문에 둘 중 한 영역은 포기해야하는 상황이 항상 일어나게 된다. 이는 비유하자면 한정된 공간인 $\mathcal{M}$ 의 남은 부분을 버려가며 시간이 흐르는 것으로 볼 수 있다. 아직 지나간 적 없는 영역을 사용하기 위해 이미 지나온 플로우를 지나려고 하면 그 순간 그것은 닫힌 오빗이 되어버리고, 결국 닫힌 오빗이든 고정점으로 수렴하게 되어 혼돈을 일으킬 수가 없다.

증명 ¹

전략: 푸앙카레의 이름이 붙은 정리답게 위상수학스럽다. $\mathcal{P}$ 내부에서 연속이며 연결된 아크(continuous, connected arc) 하나를 $\Sigma$ 라 하자.

$\Sigma$ 의 모든 점에서의 법선 벡터와 벡터필드와 내적이 $0$ 이 아니고 부호도 바뀌지 않으면 $\Sigma$ 가 $\mathcal{P}$ 상의 벡터필드를 가로지른다^transverse고 한다. 이러한 개념은 한 점에 대해서만 생각할 수도 있는데, 그 점에서 벡터필드와 $\Sigma$ 는 접하지 않을 것이다. 플로우의 센스에선 한 점에서 만날 뿐만 아니라 $\Sigma$ 를 관통하는 것이다.

주어진 벡터필드에서 만들어지는 플로우를 $\phi_{t}$, 플로우 $\phi_{t}$ 하에서 한 점 $p \in \mathcal{P}$ 의 양의 시간에 대한 오빗을 $O_{+}(p)$ 와 같이 나타내자. 한 점 $p_{i}$ 가 플로우 $\phi_{t}$ 하에서 시간 $t$ 의 흐름에 따라 $p_{j}$ 에 도달하기까지의 오빗을 $\widehat{p_{i} p_{j}} \subset O_{+} (p)$ 와 같이 나타내자.또 오메가 리미트 셋을 나타내는 $\omega ( \cdot )$ 는 원래 주어진 한 점에 대해서 정의되었는데, 어떤 집합 $X$ 에 대한 $\omega \left( X \right)$ 는 다음과 같이 생각하면 된다. $$ \omega (X) := \bigcup_{x \in X} \omega (x) $$ 이는 알파 리미트 셋 $\alpha ( \cdot )$ 도 마찬가지로 정의되었다고 생각하면 된다.

그 외에, 다음과 같은 보조 정리들을 계속해서 사용할 것이다.

보조 정리(오메가 리미트 셋의 성질): 전체 공간이 유클리드 공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 이고 플로우 $\phi_{t} ( \cdot )$ 에서 컴팩트 양불변집합 $\mathcal{M}$ 의 한 점 $p \in \mathcal{M}$ 이 주어져 있다고 하자:

• [1]: $\omega (p) \ne \emptyset$
• [2]: $\omega (p)$ 는 닫힌 집합이다.
• [3]: $\omega (p)$ 는 플로우에 불변이다. 즉, $\omega (p)$ 는 오빗들의 합집합이다.
• [4]: $\omega (p)$ 는 연결 공간이다.

우선 $2$차원에 생기는 오메가 리미트 셋들은 어떤 면적을 가지는 형태는 아닐 것이므로, 이하 언급되는 오메가 리미트 셋들은 어떤 커브의 형태로 생각하면 된다.

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Part 1.

$\Sigma \subset \mathcal{M}$ 이 벡터필드를 가로지르는 아크라고 하면, $\mathcal{M}$ 이 $2$차원 벡터필드에서의 양불변집합이므로 $\Sigma$ 가 벡터필드의 흐름을 거슬러서 $\mathcal{M}$ 밖으로 나갈 수가 없다. 따라서 임의의 $p \in \mathcal{M}$ 에 대해 $O_{+} (p)$ 와 $\Sigma$ 가 만나는 $k$번째 점을 $p_{k}$ 이라고 하면 $p_{k}\subset \widehat{p_{k-1} p_{k+1}} \subset O_{+} (p)$ 이어야만 한다. 다시 말해, 플로우가 $\mathcal{M}$ 내부에서 향하게 될 어떤 심부로 수렴해가는데, 그러면서 $\Sigma$ 와 만나는 교점들이 가까워지다가 다시 멀어지는 일은 일어나지 않는다는 것이다.

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Part 2. $p \in \mathcal{M}$ 의 오메가 리미트 셋 $\omega (p)$ 는 $\Sigma$ 와 많아도 한 점에서만 교차한다.

귀류법으로 보일 것이다. $\omega (p)$ 와 $\Sigma$ 와 서로 다른 두 점 $q , \overline{q}$ 에서 교차한다고 가정해보자.

그러면 오메가 리미트 셋의 정의에 따라 $n \to \infty$ 일 때 $$ q_{n} \to q \\ \overline{q}_{n} \to \overline{q} $$ 를 만족하는 시퀀스 $\left\{ q_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} , \left\{ \overline{q}_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset O_{+} (p)$ 가 존재한다. 그러나 Part 1에 따르면 이 교점들은 하나의 순서 $p_{1} , p_{2} , \cdots$ 로 정렬되므로 가정에 모순이다. 따라서 $\omega (p)$ 와 $\Sigma$ 는 아예 처음부터 만나지 않거나, 만난다고 하더라도 단 한 점에서만 만난다. [ NOTE: 토러스의 경우에는 이 논리를 그대로는 적용시킬 수 없지만 여러 조각을 내어 $\mathcal{M}$ 과 같은 모양새가 되게 함으로써 같은 결론을 얻을 수 있다. ]

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Part 3. $\omega (p)$ 가 고정점을 포함하지 않으면 닫힌 오빗이다.

$q \in \omega (p)$ 의 오빗 $O_{+}(q)$ 이 닫힌 오빗임을 보인후 $\omega (p) = O_{+} (q)$ 임을 보이면 된다.

• Part 3-1. 오빗 $O_{+}(q)$ 은 닫혀있다.
  • 점 $x \in \omega (q)$ 를 하나 잡아보면, 보조 정리 [2]에 의해 $\omega (p)$ 가 닫혀있고 고정점을 가지지 않는 오빗들의 합집합이므로 $x$ 역시 고정점이 아니어야한다. $p,q$ 가 헷갈리지 말아야하는데, 가정은 $\omega (p)$ 가 고정점을 가지지 않는 것이고 $x$ 는 $x \in \omega (q)$ 이라고 했으니 꼭 $x \in \omega (p)$ 라는 보장은 없으나 어쨌든 고정점은 아니라는 말로 정리할 수 있다. 이제 이 고정점이 아닌 한 점 $x$ 의 벡터필드를 가로지르는 하나의 아크 $\Sigma_{x}$ 를 잡자. **Part 1.**에 따르면 $\Sigma_{x}$ 와 $O_{+} (q)$ 의 교점의 시퀀스 $\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 $n \to \infty$ 일 때 $q_{n} \to x$ 인데, $x \in \mathcal{M}$ 이므로 **Part 2.**에 따라 $\forall n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $q_{n} = x$ 여야한다. $x$ 는 고정점이 아니므로 만약 $O_{+} (q)$ 가 $x$ 와 교차한다면, 반복적으로 $x$ 와 교차할 때마다 벗어난 후 다시 돌아와서 교차해야한다. 여기서 $x \in \omega (q)$ 라 했으므로 $O_{+}(q)$ 는 $x$ 에 가까이 다가가다가 멈추거나 하지 않고 실제로 $x$ 와 교차하고, 따라서 $O_{+}(q)$ 는 닫힌 오빗이 된다.
• Part 3-2. $O_{+}(q) = \omega (p)$
  • 점 $q \in \omega (p)$ 에서 벡터필드를 가로지르는 하나의 아크 $\Sigma_{q}$ 를 잡아보면 Part 2에 따라 $\omega (p)$ 와 $\Sigma_{q}$ 는 오직 $q$ 에서만 만난다. 보조 정리 [3]에 따라 $\omega (p)$ 는 오빗들의 합집합이므로 $q \in \omega (p)$ 이면 $O_{+} (q) \subset \omega (p)$ 인데, $\omega (p)$ 는 고정점을 포함하지 않고 연결 공간이므로 정확히 $O_{+}(q) = \omega (p)$ 이어야한다.

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Part 4. $p \in \mathcal{M}$ 에 대해 서로 다른 $p_{1} , p_{2} \in \omega (p)$ 가 벡터필드의 고정점이라고 하면 $\alpha (\gamma) = \left\{ p_{1} \right\}$ 과 $\omega (\gamma) = \left\{ p_{2} \right\}$ 를 만족하는 오빗 $\gamma \subset \omega (p)$ 는 많아도 하나 존재한다.

귀류법으로 보일 것이다. 두 점을 잇는 서로 다른 두 오빗이 있다면 그 두 오빗의 사이에 면적을 가지는 어떤 영역 $\mathcal{K}$ 가 생길 것이고, 거기서 모순을 이끌어낼 것이다. 다음의 조건을 만족하는 서로 다른 두 오빗 $\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$ 이 존재한다고 가정하자. $$ \alpha \left( \gamma_{i} \right) = \left\{ p_{1} \right\} \\ \omega \left( \gamma_{i} \right) = \left\{ p_{2} \right\} $$ 이 오빗들에서 한 점씩 $q_{1} \in \gamma_{1}$, $q_{2} \in \gamma_{2}$ 를 뽑아 $q_{1}$ 과 $q_{2}$ 에서 벡터필드를 가로지는 아크를 $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}$ 와 같이 잡자.

$\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$ 이므로 Part 2에 따라 $O_{+} (p)$ 가 $\Sigma_{1}$ 과 한 점 $a$ 에서 교차한 뒤 $\Sigma_{2}$ 는 한 점 $b$ 에서 교차한다고 하자. 그러면 $2$차원 매니폴드 상에서 다음과 같은 경로로 둘러싸인 부분영역 $\color{red}{\mathcal{K}}$ 가 생길 것이다.

$$ q_{1} \overset{\Sigma_{1}}{\to} a \overset{ O_{+} (p) }{ \to } b \overset{\Sigma_{2}}{\to} q_{2} \overset{ \omega (\gamma) }{ \to } p_{2} \overset{ \gamma_{1} }{ \gets } q_{1} $$ 노테이션 $\displaystyle x \overset{\mathcal{C}}{\to} y$ 는 점 $x,y$ 가 커브 $\mathcal{C}$ 로 이어졌다는 의미로 사용되었다. $\color{red}{\mathcal{K}}$ 에서 시작된 플로우는 $\gamma_{1} , \gamma_{2}$ 를 넘어갈 수 없기 때문에 $\color{red}{\mathcal{K}}$ 는 양불변집합이 된다. 그런데 $p$ 에서 시작한 오빗 $O_{+}(p)$ 이 $\color{red}{\mathcal{K}}$ 에 들어서면 다시는 나올 수 없다는 것은 $\gamma_{1}$ 나 $\gamma_{2}$ 가 $\omega (p)$ 에 속할 수 없다는 말이다. 가령 $\gamma_{2}$ 를 생각해보면 $q_{2} \overset{\gamma_{2}}{\to} p_{2}$ 은 $\omega (p)$ 에 속할 수 있겠지만, 그 앞부분인 $p_{1} \overset{\gamma_{2}}{\to} q_{2}$ 로는 갈 수가 없다. 따라서 $\gamma_{2}$ 전체가 $\omega (p)$ 에 속한다는 주장은 할 수 없고 $\gamma_{1} , \gamma_{2} \subset \omega (p)$ 와 모순이다.

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Part 5.

이 파트에서만 고정점이 아닌 점을 정칙점^{regular point}이라 부르자. 굳이 이 파트로만 제한할 것 없이 종종 쓸 수도 있긴한데, 고정점의 부정이라는 맥락이 자주 나오지 않는 것에 비해 정칙Regular라는 표현은 학문을 가리지 않고 자주 쓰이기 때문에 당부나 경고 없이 사용하면 큰 혼동을 줄 수 있기 때문이다.

• Case 1. $\omega (p)$ 가 고정점만을 가지는 경우
  • $\mathcal{M}$ 는 유한한 수의 고정점을 가지며 $\omega (p)$ 는 연결 공간이므로 단 하나의 고정점만을 가져야한다.
• Case 2. $\omega (p)$ 가 정칙점만을 가지는 경우
  • Part 3에 의해 $\omega (p)$ 는 닫힌 오빗이다.
• Case 3. $\omega (p)$ 가 고정점과 정칙점을 모두 가지는 경우
  • 정칙점으로만 이루어진 오빗 $\gamma \subset \omega (p)$ 를 생각해보자.

$\gamma$ 는 정칙점으로만 이루어져 있으므로 Part 3에 따라 $\omega ( \gamma )$ 와 $\alpha (\gamma)$ 는 닫힌 오빗인데, 그러면서도 고정점을 가지긴 해야한다. 그런데 보조 정리 [4]에 따라 $\omega ( \gamma )$ 는 연결 공간이므로 닫힌 오빗과 고정점이 떨어져 있을 수 없고, 고정점은 닫힌 오빗의 한 곳에 위치해야하는데 이는 곧 $\omega ( \gamma )$ 가 고정점만을 포함하는 홑원소 집합이라는 것이다. 같은 논의를 $\alpha ( \gamma )$ 에서 반복하면 $\omega (p)$ 의 모든 정칙점은 그 오메가 리미트 포인트와 알파 리미트 포인트로써 고정점을 가짐을 알 수 있다.

$\omega (p)$ 는 위 세가지 케이스 중 하나에 속해야한다. 이로써 증명이 끝난다.

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