📂르벡공간

국소 적분가능한 함수

정의

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자.

정의 1¹

모든 유계인 가측 집합 $K \subset \Omega$에 대해서,

$$\int_{K} \left| u(x) \right| dx \lt \infty$$

를 만족하는 함수 $u : \Omega \to \mathbb{C}$를 (르벡 측도에 대하여) 국소 적분가능하다^{locally integrable}고 한다.

정의 2²

함수 $u$가 $\Omega$상의 거의 어디에서나 정의된 함수라고 하자. 모든 열린 집합 $U \Subset \Omega$에 대해서 $u \in L^{1}(U)$일 때 $u$를 $\Omega$상에서 국소 적분 가능하다고 한다.

표기

국소적분가능한 함수들의 집합을 다음과 같이 나타낸다.

$$L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) := \left\{ u : \Omega \to \mathbb{C} \Big| u \text{ is locally integrable.}\right\}$$

설명

정의에 의해 다음의 포함관계가 자명하게 성립한다.

$$\href{../592}{L^{1}(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$$

$$\href{../1594}{C(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$$

성질

• 국소적분가능한 함수는 초함수로의 확장이 가능하다.