📂미분적분학

근 판정법

정리¹

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$에 대해서, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L$이라 하자.

(a) $L < 1$이면, 급수는 절대수렴한다.

(b) $L > 1$이거나 $L = \infty$이면, 급수는 발산한다.

(c) $L = 1$이면, 판정할 수 없다.

설명

$L = 1$이면 판정할 수 없으므로, 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하기 위해서는 다른 판정법을 써야한다. 정리의 진술이 비 판정법과 유사하다.

(c)

$L = 1$이면 수렴일 수도 있고, 발산일 수도 있다. 급수 $\sum \dfrac{1}{n^{2}}$을 보면, $$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \dfrac{1}{n^{2}} \right|} = \lim\limits_{n \to \infty} n^{-2/n} = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{\ln (n^{-2/n})}) = \lim\limits_{n \to \infty} (e^{ (-2/n) \ln (n)}) = e^{\lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n} $$

마지막 등호는 지수함수가 연속함수이므로 성립한다. 로피탈 정리에 의해, $$ \lim\limits_{n \to \infty} (-2/n) \ln n = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\ln n}{n} = -2 \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 $$ 이므로, $L = 1$이다. 급수는 $p=2$인 $p-$급수이므로 수렴한다.

반면에 급수 $\sum \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n}$를 생각해보면,

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} } = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n} = 1 $$

이므로 $L = 1$인데, $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e$이므로 발산 판정법에 의해 급수는 발산한다. 이 두가지 예시를 통해 $L = 1$인 경우에는 급수의 수렴성을 판별할 수 없다는 것을 알 수 있다.

증명

(a)

증명의 아이디어는 수렴하는 기하급수와 비교하는 것이다. $L \lt 1$이므로 $L \lt r \lt 1$을 만족하는 양수 $r$이 존재한다. 그러면, $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = L$이므로, 어떤 충분히 큰 $N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \lt r, \quad \text{for all } n \ge N $$

다시 적으면

$$ \left| a_{n} \right| \lt r^{n}, \quad \text{for all } n \ge N $$

그런데 급수 $\sum\limits_{n = N}^{\infty} r^{n}$는 기하급수이고 $|r| \lt 1$이므로 수렴한다. 따라서 비교판정법에 의해 $\sum\limits_{n = N}^{\infty} |a_{n}|$도 수렴한다. 즉 $\sum a_{n}$이 절대수렴한다. (앞의 유한한 항은 급수의 수렴에 영향을 끼치지 않음)

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(b)

$L > 1$이거나 $L = \infty$이면, 충분히 큰 $N$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N $$

$$ \implies \left| a_{n} \right| \gt 1, \quad \text{for all } n \ge N $$

따라서 $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \ne 0$이므로, 발산판정법에 의해 $\sum a_{n}$은 발산한다.

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