3차원 공간의 곡선 좌표계
빌드업
3차원 공간에서 위치를 표현하는 가장 일반적인 방법은 데카르트 좌표계이다. 데카르트에 의해서 고안되었기 때문에 붙은 이름이며 직교 좌표계라고도 많이 부른다. 하지만 특정한 상황에서는 데카르트 좌표계로 위치를 표현하기 어려울 수 있다. 예를 들어 2차원 평면에서 회전운동 하는 물체가 있다고 하자. 그러면 이 물체의 위치는 $(x,y)$로 표현하는 것보다 $(r,\theta)$로 표현하는 것이 훨씬 간단하다. 앞서 특정한 상황이라고 말하긴 했지만 사실 물리적인 문제를 해결할 때 이러한 상황은 생각보다 많이 나타난다. 따라서 그러한 문제를 풀기 위해 데카르트 좌표계가 아닌 다른 좌표계를 도입할 필요성이 있고, 이에 대해 수학적으로 잘 정리한 것이 곡선 좌표계이다. 3차원 공간의 어떤 좌표계가 사용하기에 적절한 좌표계가 되려면 아래와 같은 조건을 만족시켜야 한다.
- (a) 데카르트 좌표계와 변환이 가능해야한다.
- (b) 각 좌표의 방향은 서로 수직해야한다.
기존의 좌표계와 서로 변환이 되지 않으면 새로운 좌표계를 만드는 이유가 없으므로 (a) 는 필수이다. 또한 내적이 수학적으로 얼마나 유용한 연산인지를 생각해보면 (b) 가 성립하지 않는 좌표계 또한 좋은 좌표계가 될 수 없을 것이다. 이제 새로운 곡선 좌표계의 좌표를 $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$으로 나타내자. 그러면 조건 (a) 에 의해 아래와 같이 표현되어야 한다.
$$ \begin{equation*} \begin{aligned} x &= x(q_{1},q_{2},q_{3}) \\ y &= y(q_{1},q_{2},q_{3}) \\ z &= z(q_{1},q_{2},q_{3}) \end{aligned} \quad \text{and} \quad \begin{aligned} q_{1} &= q_{1}(x,y,z) \\ q_{2} &= q_{2}(x,y,z) \\ q_{3} &= q_{3}(x,y,z) \end{aligned} \end{equation*} $$
또한 각 좌표의 단위 벡터를 $\hat{\mathbf{q}}_{1}$, $\hat{\mathbf{q}}_{2}$, $\hat{\mathbf{q}}_{3}$라고 나타내자. 또한 각 좌표의 순서는 오른손 법칙을 만족한다고 가정하자. 이를 (b) 와 같이 나타내면 아래와 같다.
$$ \hat{\mathbf{q}}_{i}\cdot \hat{\mathbf{q}}_{j}=\delta_{ij} $$
$$ (\hat{\mathbf{q}}_{1}\times \hat{\mathbf{q}}_{2})\cdot \hat{\mathbf{q}}_{3}>0 $$
면적=길이$^{2}$, 부피=길이$^{3}$이므로 곡선 좌표계에서 길이가 어떻게 표현되는지 보자. 곡선 좌표계에서 어떤 위치 벡터 $\mathbf{r}$의 좌표가 살짝 바뀌었다고 하자. 그런데 여러 좌표계들을 생각해보면 변수가 꼭 길이 단위일 필요는 없다. 예를 들어 극 좌표계에서 각도인 $\theta$가 변할 때 마다 위치가 변하는 거리는 호의 길이 $l=r\theta$로 표현된다. 따라서 $d\mathbf{r}$의 성분이 길이의 차원을 갖도록 보정해주는 무언가를 $h_{i}$라고 두면 $d\mathbf{r}$은 아래와 같이 표현될 수 있다.
$$ d\mathbf{r}=h_{1}dq_{1}\hat{\mathbf{q}_{1}}+h_{2}dq_{2}\hat{\mathbf{q}_{2}}+h_{3}dq_{3}\hat{\mathbf{q}_{3}} $$
따라서 미소 길이의 제곱은 아래와 같다.
$$ \begin{equation} ds^{2}=d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}=(h_{1}dq_{1})^{2}+(h_{2}dq_{2})^{2}+(h_{3}dq_{3})^{2} \end{equation} $$
또한 미소 부피는 아래와 같다.
$$ dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3} $$
이제부터 각 성분에 대해서 길이 차원을 갖도록 보정해주는 그 무언가인 $h_{i}$가 어떻게 표현되는지 알아보자. 한편 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(q_{1},q_{2},q_{3})$의 변화량인 전미분은 아래와 같다.
$$ d\mathbf{r}= \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{1}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3} $$
그러면 $\mathbf{r}$의 변화한 만큼의 길이 제곱은 아래와 같다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} &= d \mathbf{r}^{2}=d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \\ &= \left( \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{1}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3} \right) \cdot \left( \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{1}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3} \right) \\ &= \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{1}dq_{1} + \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{1}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{1}dq_{3} \\ &\quad + \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{2}dq_{1} + \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{2}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{2}dq_{3} \\ &\quad + \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{1}}dq_{3}dq_{1} + \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{2}}dq_{3}dq_{2}+\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3} }\cdot\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{3}}dq_{3}dq_{3} \end{aligned} \end{equation} $$
이때 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i} } &= \frac{ \partial (x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+\hat{z\mathbf{z}})}{ \partial q_{i} } \\ &= \frac{ \partial x}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial y}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial z}{ \partial q_{i}}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i}}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{j}} = \frac{ \partial x}{ \partial q_{i}}\frac{ \partial x}{ \partial q_{j}}+ \frac{ \partial y}{ \partial q_{i}}\frac{ \partial y}{ \partial q_{j}}+\frac{ \partial z}{ \partial q_{i}}\frac{ \partial z}{ \partial q_{j}} $$
위 식을 간단하게 $g_{ij}=\frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i}}\cdot \frac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{j}}$로 나타내면 $(2)$는 아래와 같다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} &= g_{11}dq_{1}^{2}+g_{12}dq_{1}dq_{2}+g_{13}dq_{1}dq_{3} \\ &\quad + g_{21}dq_{2}dq_{1}+g_{22}dq_{2}^{2}+g_{23}dq_{2}dq_{3} \\ &\quad + g_{31}dq_{3}dq_{1}+g_{32}dq_{3}dq_{2}+g_{33}dq_{3}^{2} \\ &= \sum \limits _{i,j=1}^{3}g_{ij}dq_{i}dq_{j} \end{aligned} \end{equation} $$
이제 $(1)$과 $(3)$을 비교해보면 아래와 같은 결과를 얻는다.
$$ g_{ij}=\begin{cases} h_{i}^{2}, &i=j \\ 0, &i\ne j \end{cases} $$
이때 $h_{i}=\sqrt{g_{ii}}=\sqrt{\dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i} }\cdot \dfrac{ \partial \mathbf{r}}{ \partial q_{i} }}$를 스케일 팩터scale factor 라고 한다. 길이가 아닌 변수에 곱해져 길이 단위로 만들어주는 역할을 한다.
이렇게 좌표공간의 좌표계를 곡선 좌표계로 일반화하면 데카르트 좌표계는 $h_{1}=h_{2}=h_{3}=1$인 곡선 좌표계로 생각할 수 있다. 주로 사용하는 각 곡선 좌표계의 스케일 팩터는 다음과 같다.
극 좌표계:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r $$
원통 좌표계:
$$ h_{1}=1, \quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1 $$
구 좌표계:
$$ h_{1}=1,\quad h_{2}=r,\quad h_{3}=r\sin\theta $$