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벡터필드에서의 볼륨 📂다변수벡터해석

벡터필드에서의 볼륨

정의

유클리드 공간의 부분공간 DRnD \subset \mathbb{R}^{n}볼륨 VV 는 직교좌표 u=(u1,u2,,un)\textbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n}) 으로 나타낼 때 다음과 같이 정의된다.

V(D)=Ddu1du2dun V(D) = \int_{D} du_{1} du_{2} \cdots d u_{n}

uRn\textbf{u} \in \mathbb{R}^{n}벡터 함수 f:RnRn\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} 에 의해 f(u)=(f1(u),,fn(u))\textbf{f} \left( \textbf{u} \right) = \left( f_{1} (\textbf{u}) , \cdots , f_{n} (\textbf{u}) \right) 와 같이 변환될 때, DD볼륨 은 다음과 같다.

V(D)=Df(u)udu1du2dun V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}


f(u)u\displaystyle \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| 는 다음과 같이 나타낼 수 있는 f(u)\textbf{f} (\textbf{u})야코비 행렬행렬식이다. f(u)u=det[f1(u)u1f1(u)unfn(u)u1fn(u)un] \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| = \det \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \end{bmatrix}

설명

사람에 따라선 V(D)=Df(u)udu1dun\displaystyle V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} \cdots d u_{n} 를 보기만해도 겁이 날 수 있다. 그러나 바로 그걸 쉽게 설명하고 이해시키기 위한 포스트니까 침착하게 아래의 설명을 읽어보자.

볼륨이란 11차원의 길이, 22차원의 면적, 33차원의 부피를 nNn \in \mathbb{N}차원에 대해 일반화한 것이다. 물론 Volume은 한국어로 부피로 번역되는데, 일반적으로 수학에서는 이들을 딱히 구별해서 부르지 않아 ‘부피’라고 순화하면 n=3n=3차원이 연상되므로 발음 그대로 [볼륨]이라는 표현을 사용하겠다.

좌표계 변환

벡터 함수 f\textbf{f} 는 분야에 따라 쓰임새가 다를 수 있겠지만, 물리학에서 메이저하게 쓰이는 예로써 생각해보면 좌표계의 변환 정도로 받아들여도 무방하다. 가령 다음과 같이 f\textbf{f} 가 주어져 있다고 한다면

f(r,θ)=(f1(r,θ),f2(r,θ))=(x(r,θ),y(r,θ))=(rcosθ,rsinθ) \begin{align*} \textbf{f} (r,\theta) =& \left( f_{1} (r,\theta) , f_{2} (r,\theta) \right) \\ =& \left( x (r,\theta) , y (r,\theta) \right) \\ =& (r \cos \theta , r \sin \theta) \end{align*}

이는 곧 극좌표계가 된다. f\textbf{f} 를 없애고 x=x(r,θ)x = x (r,\theta)y=y(r,θ)y = y (r,\theta) 를 우리에게 친숙한 표현으로 바꿔보면

x=rcosθy=rsinθ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta

이 야코비 행렬의 행렬식은

det[xrxθyryθ]=det[cosθsinθrsinθrcosθ]=rcos2θ+rsin2θ=r \begin{align*} \det \begin{bmatrix} {{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }} \\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }} \end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix} \\ =& r \cos^{2} \theta + r \sin^{2} \theta \\ =& r \end{align*}

그래서 22차원에서 주어진 영역 RR2R \subset \mathbb{R}^{2} 의 면적(볼륨) V(R)V(R) 은 다음과 같이 계산된다.

V(R)=Rrdrdθ V(R) = \int_{R} r dr d\theta

여기서 헷갈리지 말아야할 것은 f\textbf{f}(x,y)(x,y)(r,θ)(r,\theta) 로 매핑한 것이 아니라는 것이다. 우리는 직교좌표계의 점 (x,y)(x,y) 를 나타내기 위해 극좌표계의 점 (r,θ)(r, \theta) 를 사용한 것이니 f\textbf{f}(r,θ)(r, \theta)(x,y)(x,y) 로 매핑한 것이다.

VV 는 왜 저렇게 정의되는가

볼륨 VV 가 왜 저렇게 정의되는지를 설명하려면 볼륨이 구해지는 과정을 직접 보는 게 낫다. 우선 미소 볼륨부터 살펴보자. 일반적으로 33차원 이하에서는 다음과 같은 dx,dA,dVdx, dA, dV 를 순서대로 미소 길이 , 미소 면적 , 미소 부피라 부른다.

dx=dxdA=dxdydV=dxdydz \begin{align*} dx =& dx \\ dA =& dxdy \\ dV =& dxdydz \end{align*}

11차원 구간 I=[x1,x2]I = [x_{1},x_{2}] 의 길이를

(x2x1)=x1x2dx=Idx (x_{2} - x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dx = \int_{I} dx

로 계산할 수 있듯, 22차원 직사각형 R=[x1,x2]×[y1,y2]R = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] 의 넓이는

(x2x1)(y2y1)=y1y2x1x2dxdy=RdA (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdy = \int_{R} dA

와 같이 구할 수 있고, 33차원 직육면체 D=[x1,x2]×[y1,y2]×[z1,z2]D = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] \times [z_{1} , z_{2}] 의 부피는

(x2x1)(y2y1)(z2z1)=z1z2y1y2x1x2dxdydz=DdV (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdydz = \int_{D} dV

로 나타낼 수 있는 것이다. 직교좌표에서 위와 같이 부피를 구하는 과정을 일반화 한다면 미소 볼륨

dV=du1du2dun dV = d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}

의 양변에 정적분 D\displaystyle \int_{D} 를 취하는 것이고, 다음과 같은 표현을 납득할 수 있을 것이다. Ddu1du2dun=DdV=V(D) \int_{D} d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} = \int_{D} dV = V(D)

여기서 DD 는 딱히 폐구간들의 데카르트 곱이 될 이유가 없고, 그 모양은 동그랗든 별모양이든 상관 없다. 다만 실제 그 계산은 만만찮을텐데, 바로 그럴 때 좌표계의 변환이 있다면 그러한 수식 전개도 간편하게 할 수 있을 것이다.