벡터필드에서의 볼륨
📂다변수벡터해석 벡터필드에서의 볼륨 정의 유클리드 공간 의 부분공간 D ⊂ R n D \subset \mathbb{R}^{n} D ⊂ R n 의 볼륨 V V V 는 직교좌표 u = ( u 1 , u 2 , ⋯ , u n ) \textbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n}) u = ( u 1 , u 2 , ⋯ , u n ) 으로 나타낼 때 다음과 같이 정의된다.
V ( D ) = ∫ D d u 1 d u 2 ⋯ d u n
V(D) = \int_{D} du_{1} du_{2} \cdots d u_{n}
V ( D ) = ∫ D d u 1 d u 2 ⋯ d u n
u ∈ R n \textbf{u} \in \mathbb{R}^{n} u ∈ R n 가 벡터 함수 f : R n → R n \textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} f : R n → R n 에 의해 f ( u ) = ( f 1 ( u ) , ⋯ , f n ( u ) ) \textbf{f} \left( \textbf{u} \right) = \left( f_{1} (\textbf{u}) , \cdots , f_{n} (\textbf{u}) \right) f ( u ) = ( f 1 ( u ) , ⋯ , f n ( u ) ) 와 같이 변환될 때, D D D 의 볼륨 은 다음과 같다.
V ( D ) = ∫ D ∣ ∂ f ( u ) ∂ u ∣ d u 1 d u 2 ⋯ d u n
V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}
V ( D ) = ∫ D ∂ u ∂ f ( u ) d u 1 d u 2 ⋯ d u n
∣ ∂ f ( u ) ∂ u ∣ \displaystyle \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| ∂ u ∂ f ( u ) 는 다음과 같이 나타낼 수 있는 f ( u ) \textbf{f} (\textbf{u}) f ( u ) 의 야코비 행렬 의 행렬식 이다.
∣ ∂ f ( u ) ∂ u ∣ = det [ ∂ f 1 ( u ) ∂ u 1 ⋯ ∂ f 1 ( u ) ∂ u n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f n ( u ) ∂ u 1 ⋯ ∂ f n ( u ) ∂ u n ]
\left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| = \det \begin{bmatrix}
{{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }}
\\ \vdots & \ddots & \vdots
\\ {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }}
\end{bmatrix}
∂ u ∂ f ( u ) = det ∂ u 1 ∂ f 1 ( u ) ⋮ ∂ u 1 ∂ f n ( u ) ⋯ ⋱ ⋯ ∂ u n ∂ f 1 ( u ) ⋮ ∂ u n ∂ f n ( u )
설명 사람에 따라선 V ( D ) = ∫ D ∣ ∂ f ( u ) ∂ u ∣ d u 1 ⋯ d u n \displaystyle V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} \cdots d u_{n} V ( D ) = ∫ D ∂ u ∂ f ( u ) d u 1 ⋯ d u n 를 보기만해도 겁이 날 수 있다. 그러나 바로 그걸 쉽게 설명하고 이해시키기 위한 포스트니까 침착하게 아래의 설명을 읽어보자.
볼륨이란 1 1 1 차원의 길이, 2 2 2 차원의 면적, 3 3 3 차원의 부피를 n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N 차원에 대해 일반화한 것이다. 물론 Volume은 한국어로 부피로 번역되는데, 일반적으로 수학에서는 이들을 딱히 구별해서 부르지 않아 ‘부피’라고 순화하면 n = 3 n=3 n = 3 차원이 연상되므로 발음 그대로 [볼륨]이라는 표현을 사용하겠다.
좌표계 변환 벡터 함수 f \textbf{f} f 는 분야에 따라 쓰임새가 다를 수 있겠지만, 물리학에서 메이저하게 쓰이는 예로써 생각해보면 좌표계의 변환 정도로 받아들여도 무방하다. 가령 다음과 같이 f \textbf{f} f 가 주어져 있다고 한다면
f ( r , θ ) = ( f 1 ( r , θ ) , f 2 ( r , θ ) ) = ( x ( r , θ ) , y ( r , θ ) ) = ( r cos θ , r sin θ )
\begin{align*}
\textbf{f} (r,\theta) =& \left( f_{1} (r,\theta) , f_{2} (r,\theta) \right)
\\ =& \left( x (r,\theta) , y (r,\theta) \right)
\\ =& (r \cos \theta , r \sin \theta)
\end{align*}
f ( r , θ ) = = = ( f 1 ( r , θ ) , f 2 ( r , θ ) ) ( x ( r , θ ) , y ( r , θ ) ) ( r cos θ , r sin θ )
이는 곧 극좌표계가 된다. f \textbf{f} f 를 없애고 x = x ( r , θ ) x = x (r,\theta) x = x ( r , θ ) 와 y = y ( r , θ ) y = y (r,\theta) y = y ( r , θ ) 를 우리에게 친숙한 표현으로 바꿔보면
x = r cos θ y = r sin θ
x = r \cos \theta
\\ y = r \sin \theta
x = r cos θ y = r sin θ
이 야코비 행렬의 행렬식은
det [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ] = det [ cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ] = r cos 2 θ + r sin 2 θ = r
\begin{align*}
\det \begin{bmatrix}
{{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }}
\\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }}
\end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta
\\ -r \sin \theta & r \cos \theta
\end{bmatrix}
\\ =& r \cos^{2} \theta + r \sin^{2} \theta
\\ =& r
\end{align*}
det [ ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ x ∂ θ ∂ y ] = = = det [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] r cos 2 θ + r sin 2 θ r
그래서 2 2 2 차원에서 주어진 영역 R ⊂ R 2 R \subset \mathbb{R}^{2} R ⊂ R 2 의 면적(볼륨) V ( R ) V(R) V ( R ) 은 다음과 같이 계산된다.
V ( R ) = ∫ R r d r d θ
V(R) = \int_{R} r dr d\theta
V ( R ) = ∫ R r d r d θ
여기서 헷갈리지 말아야할 것은 f \textbf{f} f 가 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 를 ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ ) 로 매핑한 것이 아니라는 것이다. 우리는 직교좌표계의 점 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 를 나타내기 위해 극좌표계의 점 ( r , θ ) (r, \theta) ( r , θ ) 를 사용한 것이니 f \textbf{f} f 는 ( r , θ ) (r, \theta) ( r , θ ) 를 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 로 매핑한 것이다.
V V V 는 왜 저렇게 정의되는가볼륨 V V V 가 왜 저렇게 정의되는지를 설명하려면 볼륨이 구해지는 과정을 직접 보는 게 낫다. 우선 미소 볼륨부터 살펴보자. 일반적으로 3 3 3 차원 이하에서는 다음과 같은 d x , d A , d V dx, dA, dV d x , d A , d V 를 순서대로 미소 길이 , 미소 면적 , 미소 부피 라 부른다.
d x = d x d A = d x d y d V = d x d y d z
\begin{align*}
dx =& dx
\\ dA =& dxdy
\\ dV =& dxdydz
\end{align*}
d x = d A = d V = d x d x d y d x d y d z
1 1 1 차원 구간 I = [ x 1 , x 2 ] I = [x_{1},x_{2}] I = [ x 1 , x 2 ] 의 길이를
( x 2 − x 1 ) = ∫ x 1 x 2 d x = ∫ I d x
(x_{2} - x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dx = \int_{I} dx
( x 2 − x 1 ) = ∫ x 1 x 2 d x = ∫ I d x
로 계산할 수 있듯, 2 2 2 차원 직사각형 R = [ x 1 , x 2 ] × [ y 1 , y 2 ] R = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] R = [ x 1 , x 2 ] × [ y 1 , y 2 ] 의 넓이는
( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) = ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 d x d y = ∫ R d A
(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdy = \int_{R} dA
( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) = ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 d x d y = ∫ R d A
와 같이 구할 수 있고, 3 3 3 차원 직육면체 D = [ x 1 , x 2 ] × [ y 1 , y 2 ] × [ z 1 , z 2 ] D = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] \times [z_{1} , z_{2}] D = [ x 1 , x 2 ] × [ y 1 , y 2 ] × [ z 1 , z 2 ] 의 부피는
( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) ( z 2 − z 1 ) = ∫ z 1 z 2 ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 d x d y d z = ∫ D d V
(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdydz = \int_{D} dV
( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) ( z 2 − z 1 ) = ∫ z 1 z 2 ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 d x d y d z = ∫ D d V
로 나타낼 수 있는 것이다. 직교좌표에서 위와 같이 부피를 구하는 과정을 일반화 한다면 미소 볼륨
d V = d u 1 d u 2 ⋯ d u n
dV = d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n}
d V = d u 1 d u 2 ⋯ d u n
의 양변에 정적분 ∫ D \displaystyle \int_{D} ∫ D 를 취하는 것이고, 다음과 같은 표현을 납득할 수 있을 것이다.
∫ D d u 1 d u 2 ⋯ d u n = ∫ D d V = V ( D )
\int_{D} d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} = \int_{D} dV = V(D)
∫ D d u 1 d u 2 ⋯ d u n = ∫ D d V = V ( D )
여기서 D D D 는 딱히 폐구간들의 데카르트 곱 이 될 이유가 없고, 그 모양은 동그랗든 별모양이든 상관 없다. 다만 실제 그 계산은 만만찮을텐데, 바로 그럴 때 좌표계의 변환이 있다면 그러한 수식 전개도 간편하게 할 수 있을 것이다.