벡터필드에서의 볼륨
정의
유클리드 공간의 부분공간 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 의 볼륨 $V$ 는 직교좌표 $\textbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n})$ 으로 나타낼 때 다음과 같이 정의된다.
$$ V(D) = \int_{D} du_{1} du_{2} \cdots d u_{n} $$
$\textbf{u} \in \mathbb{R}^{n}$ 가 벡터 함수 $\textbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 의해 $\textbf{f} \left( \textbf{u} \right) = \left( f_{1} (\textbf{u}) , \cdots , f_{n} (\textbf{u}) \right)$ 와 같이 변환될 때, $D$ 의 볼륨 은 다음과 같다.
$\displaystyle \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right|$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있는 $\textbf{f} (\textbf{u})$ 의 야코비 행렬의 행렬식이다. $$ \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| = \det \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{n} (\textbf{u}) } \over {\partial u_{n} }} \end{bmatrix} $$
설명
사람에 따라선 $\displaystyle V(D) = \int_{D} \left| {{ \partial \textbf{f} (\textbf{u}) } \over { \partial \textbf{u} }} \right| d u_{1} \cdots d u_{n}$ 를 보기만해도 겁이 날 수 있다. 그러나 바로 그걸 쉽게 설명하고 이해시키기 위한 포스트니까 침착하게 아래의 설명을 읽어보자.
볼륨이란 $1$차원의 길이, $2$차원의 면적, $3$차원의 부피를 $n \in \mathbb{N}$차원에 대해 일반화한 것이다. 물론 Volume은 한국어로 부피로 번역되는데, 일반적으로 수학에서는 이들을 딱히 구별해서 부르지 않아 ‘부피’라고 순화하면 $n=3$차원이 연상되므로 발음 그대로 [볼륨]이라는 표현을 사용하겠다.
좌표계 변환
벡터 함수 $\textbf{f}$ 는 분야에 따라 쓰임새가 다를 수 있겠지만, 물리학에서 메이저하게 쓰이는 예로써 생각해보면 좌표계의 변환 정도로 받아들여도 무방하다. 가령 다음과 같이 $\textbf{f}$ 가 주어져 있다고 한다면
$$ \begin{align*} \textbf{f} (r,\theta) =& \left( f_{1} (r,\theta) , f_{2} (r,\theta) \right) \\ =& \left( x (r,\theta) , y (r,\theta) \right) \\ =& (r \cos \theta , r \sin \theta) \end{align*} $$
이는 곧 극좌표계가 된다. $\textbf{f}$ 를 없애고 $x = x (r,\theta)$ 와 $y = y (r,\theta)$ 를 우리에게 친숙한 표현으로 바꿔보면
$$ x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta $$
이 야코비 행렬의 행렬식은
$$ \begin{align*} \det \begin{bmatrix} {{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }} \\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }} \end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix} \\ =& r \cos^{2} \theta + r \sin^{2} \theta \\ =& r \end{align*} $$
그래서 $2$차원에서 주어진 영역 $R \subset \mathbb{R}^{2}$ 의 면적(볼륨) $V(R)$ 은 다음과 같이 계산된다.
$$ V(R) = \int_{R} r dr d\theta $$
여기서 헷갈리지 말아야할 것은 $\textbf{f}$ 가 $(x,y)$ 를 $(r,\theta)$ 로 매핑한 것이 아니라는 것이다. 우리는 직교좌표계의 점 $(x,y)$ 를 나타내기 위해 극좌표계의 점 $(r, \theta)$ 를 사용한 것이니 $\textbf{f}$ 는 $(r, \theta)$ 를 $(x,y)$ 로 매핑한 것이다.
$V$ 는 왜 저렇게 정의되는가
볼륨 $V$ 가 왜 저렇게 정의되는지를 설명하려면 볼륨이 구해지는 과정을 직접 보는 게 낫다. 우선 미소 볼륨부터 살펴보자. 일반적으로 $3$차원 이하에서는 다음과 같은 $dx, dA, dV$ 를 순서대로 미소 길이 , 미소 면적 , 미소 부피라 부른다.
$$ \begin{align*} dx =& dx \\ dA =& dxdy \\ dV =& dxdydz \end{align*} $$
$1$차원 구간 $I = [x_{1},x_{2}]$ 의 길이를
$$ (x_{2} - x_{1}) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} dx = \int_{I} dx $$
로 계산할 수 있듯, $2$차원 직사각형 $R = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}]$ 의 넓이는
$$ (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdy = \int_{R} dA $$
와 같이 구할 수 있고, $3$차원 직육면체 $D = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1} , y_{2}] \times [z_{1} , z_{2}]$ 의 부피는
$$ (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1}) = \int_{z_{1}}^{z_{2}} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} dxdydz = \int_{D} dV $$
로 나타낼 수 있는 것이다. 직교좌표에서 위와 같이 부피를 구하는 과정을 일반화 한다면 미소 볼륨
$$ dV = d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} $$
의 양변에 정적분 $\displaystyle \int_{D}$ 를 취하는 것이고, 다음과 같은 표현을 납득할 수 있을 것이다. $$ \int_{D} d u_{1} d u_{2} \cdots d u_{n} = \int_{D} dV = V(D) $$
여기서 $D$ 는 딱히 폐구간들의 데카르트 곱이 될 이유가 없고, 그 모양은 동그랗든 별모양이든 상관 없다. 다만 실제 그 계산은 만만찮을텐데, 바로 그럴 때 좌표계의 변환이 있다면 그러한 수식 전개도 간편하게 할 수 있을 것이다.